5.3. UN CRIBLE COMBINATOIRE SIMPLE
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Il reste à choisir les paramètres de troncation Yi pour spécifier entièrement le crible
combinatoire. Brun a expérimenté avec plusieurs possibilités. Un choix motivé, mais
un peu complexe, est le suivant : soit
où p 2 1 est un nombre fixé. (Avec toujours d = pi - .Pm). La condition pi < Yi
équivaut donc à
Noter que dans ce cas, Yi est véritablement une fonction arithmétique et non pas une
constante.
La motivation pour ce choix est la suivante : on espère qu'il existe une << limite >>
f 3 2 1 tel que le crible de niveau D peut démontrer une minoration du bon ordre de
grandeur de S ( d , z ) , à savoir
pour toute suite d raisonnable si z est assez petit, précisément si
log D
S = - log z > P.
Similairement, lorsqu'on applique l'inégalité de Buchstab par récurrence, pour un
des termes
S C d p l
...pi Pi)
( i impair) qui apparaît à la i-ème étape (dont le processus de construction du crible
majorant consiste à choisir lesquels doivent être traités trivialement), on s'attend à ce
qu'il apporte une contribution positive
S(~pl...pi,Pi) B g(Pi . . .Pi)V (Pi)
à la somme si la suite dpl...pi vérifie l'analogue de (5.23), c'est-à-dire si
(le passage de D à D/(Pl .pi) comme niveau du crible se justifie à partir de la
condition de divisibilité fixe d = pl . . .pid' dans les formules de crible).
On néglige donc assez naturellement les autres termes, qui
l'inégalité
logD/Pi . .Pi
< P i.e.pi log pi
Pour parvenir le plus rapidement possible à un résultat de
allons faire un autre choix (un de ceux de Brun), et poser
(5.24)
y, - x ~ i
- D ~ - l ~ i
2 -
-
en posant z = DI/',
correspondent donc à
crible non trivial nous
où 6 est une constante fixée telle que O < 6 < 1 et s > 1 (car on suppose z < D).
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004