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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
Démonstration. - Il s'agit encore du principe d'inclusion-exclusion : pour (5.19), le
terme de droite « compte » tous les entiers n < x, sauf ceux qui ont un diviseur
premier p < x ; c'est donc la même condition que pour S ( d , x) , et la multiplicité
correspond car, pour p donné, la somme est restreinte aux entiers n tels que p est
le plus petit diviseur premier de n (puisque (n, P(p)) = 1). Cette condition, réciproquement, détermine la valeur de p pour laquelle un n donné apparaît.
La seconde formule est tout à fait similaire.
O
Par positivité et récurrence, l'identité de Buchstab implique
(l'idée étant que pour $11 « grand », $11 2 yl, on ne peut espérer estimer mieux la
somme S ( d p l , p l ) , qui correspond à une suite peu dense et soumise à un criblage
jusqu'à $1, que par la minoration triviale affirmant qu'elle est 3 O ) , puis
et enfin
en appliquant la majoration triviale aux termes avec pi 2 yi à chaque double-pas,
c'est-à-dire i impair. Les termes abandonnés sont donc exactement les sommes
pour i impair, ce qui redonne le fait que g+ fournit un crible combinatoire majorant. L'analogue de ces formules pour V (z) est
avec
qui prouve le lemme pour le cas du crible majorant. Le cas du crible minorant est
exactement similaire.
CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
Démonstration. - Il s'agit encore du principe d'inclusion-exclusion : pour (5.19), le
terme de droite « compte » tous les entiers n < x, sauf ceux qui ont un diviseur
premier p < x ; c'est donc la même condition que pour S ( d , x) , et la multiplicité
correspond car, pour p donné, la somme est restreinte aux entiers n tels que p est
le plus petit diviseur premier de n (puisque (n, P(p)) = 1). Cette condition, réciproquement, détermine la valeur de p pour laquelle un n donné apparaît.
La seconde formule est tout à fait similaire.
O
Par positivité et récurrence, l'identité de Buchstab implique
(l'idée étant que pour $11 « grand », $11 2 yl, on ne peut espérer estimer mieux la
somme S ( d p l , p l ) , qui correspond à une suite peu dense et soumise à un criblage
jusqu'à $1, que par la minoration triviale affirmant qu'elle est 3 O ) , puis
et enfin
en appliquant la majoration triviale aux termes avec pi 2 yi à chaque double-pas,
c'est-à-dire i impair. Les termes abandonnés sont donc exactement les sommes
pour i impair, ce qui redonne le fait que g+ fournit un crible combinatoire majorant. L'analogue de ces formules pour V (z) est
avec
qui prouve le lemme pour le cas du crible majorant. Le cas du crible minorant est
exactement similaire.