5.3. UN CRIBLE COMBINATOIRE SIMPLE
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Pour les applications, la complexité des coefficients Ak(d) du crible (que l'on
préfère d'ailleurs voir comme purement auxiliaires et simplement << donnés >> par ce
qui s'appelle souvent un lemme fondamental) rendrait la majoration ci-dessus assez
déplaisante. On désire donc éliminer cette dépendance en reliant V + ( z ) à V (x) . Il
faut remarquer d'emblée que contrairement à p, les fonctions A+ et A- n'ont pas de
raison d'être multiplicatives (donc V + ( z ) n'est pas donné par un produit eulérien
comme l'est V (x) ) .
Notons pour la suite les propriétés suivantes de V (z) :
V (z) 2 O pour tout z
V ( z ) < V ( w ) pour w < z
qui proviennent du produit eulérien (5.9) et de l'hypothèse O < g ( p ) < 1.
Dans le cas du crible combinatoire décrit ci-dessus, on a :
Lemme 5.3.5. - Soit (A+) et (A-) les c~bles majorant et minorant construits à partir des
paramètres de troncation (yi) .
On a alors
V ( z ) = v + ( z ) - C K ( z ) = v - ( z ) + C K ( z )
i impair
i pair
où pour tout entier i 2 1 on a
On peut démontrer cela en répétant simplement l'argument du Lemme 5.3.2.
Une autre écriture provient d'une identité de crible générale à la fois simple et importante, 1 'identité de Buchstab.
Lemme 5.3.6. - Soit d une suite de nombres complexes, z 2 2. Pour d 2 1 on note Md =
(and) - On a
Cette identité est souvent utilisée par récurrence ; elle permet de diminuer la valeur du paramètre de criblage z.
Rappelons que I d 1 signifie
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 2004