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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
avec g une fonction arithmétique multiplicative telle que O < g(p) < 1 pour tout
p E 9 . (Si une telle approximation semble requérir g(p) = 1, on enlève simplement p de l'ensemble 9 ) .
La formule exacte de Legendre devient
avec
(5.9)
V (z) =
p (d) g (d) = n (1 - g (p) ), par multiplicativité
dlP(z)
PlP(z)
tandis que pour un crible majorant (A+ (d)) (resp. un crible minorant (A- (d)) ), on
déduit
avec
et pour un crible combinatoire, on a une estimation simple du terme d'erreur
puisque le niveau D contrôle le support des fonctions de crible et 1 hi (d) 1 < 1.
Remarque 5.3.4
(1) Très souvent, il est possible d'estimer R ( d , D) pour tout D < x', avec cr > O
dépendant de la suite. Par exemple si a, = 1 et g(d) = l / d , on a rd (x) « 1 pour
x 2 2, de sorte que
( R ( d , D) 1 < D.
Voir ci-dessous pour d'autres exemples.
(2) Attention encore une fois à ne pas faire l'erreur de penser que la formule
exacte de Legendre fournirait la bonne formule asymptotique pour S ( d , z) en négligeant le terme d'erreur : on l'a déjà vu dans la Section 1.5 pour le cas a, = 1 et
z = XI/*, avec g (d) = d-' , X = x.
L'heuristique basée sur la fonction de Mobius de la Section 5.2 est beaucoup plus
robuste.
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