5.3. UN CRIBLE COMBINATOIRE SIMPLE
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Pour dl donné (c'est-à-dire pl, . . . ,pi donnés), d2 parcourt les diviseurs de m, où
m est le produit des diviseurs < pi de n, de sorte que
car p (dl) = (- 1)' = - 1 et la somme intérieure est soit nulle, soit = 1.
D'après (5.7), il vient
Ce lemme est purement combinatoire et permet de construire une abondance de
cribles majorant ou minorant en choisissant des limites Yi pour tout d 2 2 de façon
consistante; dans le lemme ces limites peuvent dépendre de n tel que d ( n, mais si
on choisit Yi comme fonction de d seulement, on obtient
Corollaire 5.3.3. - Soient (yi) , i 2 1 , des fonctions arithmétiques réelles telles que Yi (d) >
Yi+l (d) > 0 pour d 2 2. Soit
9' = {d = pi . - . p, 1 Pm < y, pour m impair}
avec 1 E 9+ par convention. Alors
est un crible majorant. De même la fonction de Mobius restreinte à
est un crible minorant.
En pratique, pour simplifier la notation, Yi est considéré implicitement comme
fonction de d, tout comme l'était pi. Le niveau D n'est pas explicité, mais les conditions imposées sur d = pl . .Pr E 9+ permettent de majorer effectivement d, comme
on le verra plus bas. Il en est de même pour 9-, à l'exception dans ce cas des
d = p E 9- puisque la définition de 9- n'offre aucune restriction sur p. Si on
suppose z < D, la condition p < x permettra néanmoins de contrôler le niveau du
crible minorant.
Pour aller plus loin, il faut nécessairement introduire des hypothèses sur la
suite d , à commencer (6 Section 1.5 et Section 5.2) par écrire