CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
(2) Le crible de Selberg- (voir par exemple [Bo, § 81 ) part de la constatation que le
carré d'un réel est positif, et cherche par conséquent un crible majorant vérifiant
où p est une autre fonction arithmétique vérifiant p(1) = 1 et p(d) = O si d > D'/*,
qui est alors l'objet d'un processus d'optimisation.
Nous allons ici juste indiquer la construction d'une des variantes du crible combinatoire. Elle est basée sur le lemme suivant. Pour l'énoncé et pour la suite, il est
pratique d'écrire un entier sans facteurs carrés sous la forme
(de sorte que pi est considéré comme une fonction de n). L'argument de cette fonction sera clair dans le contexte.
Lemme 5.3.2. - Soit n 2 2 un entier sans facteurs carrés jixé, soient (yi), i
1, des
paramètres réels tels que Yi > yi+l > O pour tout i , et soit
Alors on a
Démonstration. - Nous considérons simplement g+, l'autre étant à peu près identique. Si un diviseur d 1 n n'appartient pas à g + , il existe un entier i (impair)
minimal tel que
pi 2 Yi et fi < y j si j < i impair,
(où Pi = Pi(d) ) +
Notant Si l'ensemble des d 1 n pour lesquels cet entier vaut
quement
Or les éléments de gi sont de la forme d = pl . .Pid2 = d1d2
i, il vient tautologiOÙ pl > >pi, et
Pj < y j si j < i est impair, tandis que tous les diviseurs premiers de dg sont < pi ; cette
écriture est évidemment unique.
COURS SPÉCIALISÉS 13
(2) Le crible de Selberg- (voir par exemple [Bo, § 81 ) part de la constatation que le
carré d'un réel est positif, et cherche par conséquent un crible majorant vérifiant
où p est une autre fonction arithmétique vérifiant p(1) = 1 et p(d) = O si d > D'/*,
qui est alors l'objet d'un processus d'optimisation.
Nous allons ici juste indiquer la construction d'une des variantes du crible combinatoire. Elle est basée sur le lemme suivant. Pour l'énoncé et pour la suite, il est
pratique d'écrire un entier sans facteurs carrés sous la forme
(de sorte que pi est considéré comme une fonction de n). L'argument de cette fonction sera clair dans le contexte.
Lemme 5.3.2. - Soit n 2 2 un entier sans facteurs carrés jixé, soient (yi), i
1, des
paramètres réels tels que Yi > yi+l > O pour tout i , et soit
Alors on a
Démonstration. - Nous considérons simplement g+, l'autre étant à peu près identique. Si un diviseur d 1 n n'appartient pas à g + , il existe un entier i (impair)
minimal tel que
pi 2 Yi et fi < y j si j < i impair,
(où Pi = Pi(d) ) +
Notant Si l'ensemble des d 1 n pour lesquels cet entier vaut
quement
Or les éléments de gi sont de la forme d = pl . .Pid2 = d1d2
i, il vient tautologiOÙ pl > >pi, et
Pj < y j si j < i est impair, tandis que tous les diviseurs premiers de dg sont < pi ; cette
écriture est évidemment unique.
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