5.2. ARGUMENTS HEURISTIQUES
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Si a, est « raisonnable », les nombres Ad (x) ne peuvent pas compenser exactement
(ni même presque exactement) les changements de signe aléatoires de la fonction de
Mobius. On est donc amené à penser que la contribution des d > D sera petite, où D
est par exemple une petite puissance de x. Pour d < D ( d « petit ») , la somme Ad (x)
comporte un grand nombre de termes, et on peut s'attendre à ce que les variations
de a, soit << lissées » par une formule moyenne simple
avec A(x) = Al (x), g une fonction multiplicative et rd(x) « petit » ($ l'hypothèse
(5.8) utilisée plus bas) ; on interprète intuitivement g (d) comme « la probabilité
qu'un n dans le support de (a,) soit divisible par d ». On suppose encore que la
somme des rd (x) fournira un terme de plus petite taille, et cela amène au terme principal heuristique suivant (indiqué par le symbole E qui n'a aucune valeur prgicise ...)
pour T ( d ) :
T (d) = HDA (x) avec HD = - C p (d) (log d) g (d) .
d
Écrivant
la fonction H(s) aura souvent un prolongement analytique en une fonction holomorphe pour Re(s) > -8 avec 8 > O (c'est certainement le cas si g(d) < kd-l avec
k fixé). On a alors DgP (0) = H (O) en dérivant et donc on parvient à la formule
heuristique suivante :
T ( d ) = C a,A(n) E Hx avec H = n 1 - g(P>
n ~ x
p 1 - p p i
Par exemple, si on prend a, = 1, on a H (s) = 1 qui est entière (!), et cela donne
H = 1 : l'heuristique ci-dessus prédit donc
ce qui est équivalent au théorème des nombres premiers (Lemme 2.1.13). Noter
que l'argument heuristique ainsi présenté est plus précis que celui (plus naïf) basé
directement sur la formule de Legendre ( cJ: la Section 1.5, en particulier la discussion
après (1.10)).
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Si a, est « raisonnable », les nombres Ad (x) ne peuvent pas compenser exactement
(ni même presque exactement) les changements de signe aléatoires de la fonction de
Mobius. On est donc amené à penser que la contribution des d > D sera petite, où D
est par exemple une petite puissance de x. Pour d < D ( d « petit ») , la somme Ad (x)
comporte un grand nombre de termes, et on peut s'attendre à ce que les variations
de a, soit << lissées » par une formule moyenne simple
avec A(x) = Al (x), g une fonction multiplicative et rd(x) « petit » ($ l'hypothèse
(5.8) utilisée plus bas) ; on interprète intuitivement g (d) comme « la probabilité
qu'un n dans le support de (a,) soit divisible par d ». On suppose encore que la
somme des rd (x) fournira un terme de plus petite taille, et cela amène au terme principal heuristique suivant (indiqué par le symbole E qui n'a aucune valeur prgicise ...)
pour T ( d ) :
T (d) = HDA (x) avec HD = - C p (d) (log d) g (d) .
d
Écrivant
la fonction H(s) aura souvent un prolongement analytique en une fonction holomorphe pour Re(s) > -8 avec 8 > O (c'est certainement le cas si g(d) < kd-l avec
k fixé). On a alors DgP (0) = H (O) en dérivant et donc on parvient à la formule
heuristique suivante :
T ( d ) = C a,A(n) E Hx avec H = n 1 - g(P>
n ~ x
p 1 - p p i
Par exemple, si on prend a, = 1, on a H (s) = 1 qui est entière (!), et cela donne
H = 1 : l'heuristique ci-dessus prédit donc
ce qui est équivalent au théorème des nombres premiers (Lemme 2.1.13). Noter
que l'argument heuristique ainsi présenté est plus précis que celui (plus naïf) basé
directement sur la formule de Legendre ( cJ: la Section 1.5, en particulier la discussion
après (1.10)).