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CHAPITRE 5. CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
Il est possible (le premier exemple publié fut donné par Selberg) de construire
des suites an qui mettent en défaut cet argument heuristique : il s'agit bien entendu
d'avoir A d ( % ) de signe égal à p ( d ) pour beaucoup de valeurs de d. Cependant ces
suites sont artificielles et, dans tous les cas naturels où il a été possible d'évaluer rigoureusement T (d) , la formule (5.2) s 'est avérée correcte.
Exercice5.2.1. - En considérant a, = A ( n - 2 ) , démontrer que l'on est amené à
conjecturer que
Démontrer que si c'est le cas, alors on a
uC
n2 ( x ) - C
-
(log x)*
c'est-à-dire que la Conjecture 1.1.2 est vraie.
Exercice 5.2.2. - Soit a, la fonction caractéristique des entiers n < x ayant un
nombre pair de facteurs premiers. Démontrer que pour d sans facteurs carrés on a
avec
[Indication : Écrire an = ( 1 + A ( n ) ) /2 où A ( n ) = (- 1 ) w(n) , w ( n ) étant le nombre de
diviseurs premiers de n et démontrer que
en calculant la série de Dirichlet associée.]
Démontrer que pour tout E > O on a
pour D = x ' - ~ .
Démontrer que si r = x1I2, la formule heuristique (5.2) est fausse pour la suite
( a n ) .
Comment comprendre ce résultat d'après la discussion qui précède ?