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CHAPITRE 5 . CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
où pour d 2 1 on a posé
Ad (x) = C a,, et en particulier Al (x) = A(x) = I d 1 = C a,.
n
aux entiers sans petit facteurs premiers, aux suites << plus simples » dd = (and), pour
d l
Pour avancer à partir de cette formule, une dichotomie apparaît. Dans le cas où
a, 2 O, ce que l'on interprète en disant que (a,) compte les entiers n tels que
a, # O avec un certain « poids », ou multiplicité a,, on entre dans le domaine du
crible classique et ses développements récents : l'objectif est d'obtenir une formule
asymptotique pour S ( d , 2). Comme c'est une fonction décroissante de z, on peut
déduire une majoration de S (d, 2') à partir de celle pour S ( d , z) pour tout z' z.
Si (a,), par contre, est une suite oscillante, dont le signe (ou l'argument) varie
aléatoirement, il s'agit en général de majorer le module de la somme S ( d , z) . Dans
ce cas, il n'y a pas de relation simple entre les différentes valeurs de S ( d , z) (pas de
monotonie). Ce second cas est celui qui nous concerne pour le Théorème 1.2.1 de
Duke-Friedlander-Iwaniec, où l'on prend
avec h # O fixé pour appliquer le critère d'équirépartition de Weyl (6 l'énoncé du
Théorème 1.4.5). Il faut alors (essentiellement) traiter directement le cas z = xl/*
pour en déduire la moindre information sur ph ( p ) .
5.2. Arguments heuristiques
On peut dans de nombreuses situations prédire le comportement asymptotique de
la somme des ap sur $I < x à l'aide du principe heuristique de compensation dans les
sommes oscillantes (cf: Chapitre 4), appliqué à la fonction de Mobius. Pour illustrer
cela, changeons de notation et considérons le problème de calculer la somme
où A est la fonction de von Mangoldt.
D'après (2.14), on a
A(n) = - C p ( d ) logd
dln
et en insérant cette formule et en changeant l'ordre de sommation, on trouve
CHAPITRE 5 . CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES SUR LES NOMBRES PREMIERS
où pour d 2 1 on a posé
Ad (x) = C a,, et en particulier Al (x) = A(x) = I d 1 = C a,.
n
aux entiers sans petit facteurs premiers, aux suites << plus simples » dd = (and), pour
d l
Pour avancer à partir de cette formule, une dichotomie apparaît. Dans le cas où
a, 2 O, ce que l'on interprète en disant que (a,) compte les entiers n tels que
a, # O avec un certain « poids », ou multiplicité a,, on entre dans le domaine du
crible classique et ses développements récents : l'objectif est d'obtenir une formule
asymptotique pour S ( d , 2). Comme c'est une fonction décroissante de z, on peut
déduire une majoration de S (d, 2') à partir de celle pour S ( d , z) pour tout z' z.
Si (a,), par contre, est une suite oscillante, dont le signe (ou l'argument) varie
aléatoirement, il s'agit en général de majorer le module de la somme S ( d , z) . Dans
ce cas, il n'y a pas de relation simple entre les différentes valeurs de S ( d , z) (pas de
monotonie). Ce second cas est celui qui nous concerne pour le Théorème 1.2.1 de
Duke-Friedlander-Iwaniec, où l'on prend
avec h # O fixé pour appliquer le critère d'équirépartition de Weyl (6 l'énoncé du
Théorème 1.4.5). Il faut alors (essentiellement) traiter directement le cas z = xl/*
pour en déduire la moindre information sur ph ( p ) .
5.2. Arguments heuristiques
On peut dans de nombreuses situations prédire le comportement asymptotique de
la somme des ap sur $I < x à l'aide du principe heuristique de compensation dans les
sommes oscillantes (cf: Chapitre 4), appliqué à la fonction de Mobius. Pour illustrer
cela, changeons de notation et considérons le problème de calculer la somme
où A est la fonction de von Mangoldt.
D'après (2.14), on a
A(n) = - C p ( d ) logd
dln
et en insérant cette formule et en changeant l'ordre de sommation, on trouve