CHAPITRE 5
CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES
SUR LES NOMBRES PREMIERS
5.1. Le crible en général
Rappelons ($ Section 1.5) que les méthodes de crible ont pour objectif l'étude
du comportement de suites de nombres (complexes) d = (a,) lorsqu'elles sont restreintes aux entiers sans facteurs premiers plus petit qu'un certain paramètre. Plus
généralement, afin de pouvoir étudier aussi les entiers dont seulement certains facteurs premiers vérifient une certaine condition, soit 9 un ensemble (en général
infini) de nombres premiers fixé une fois pour toute, et posons
Ayant fixé x 2 O, on s'intéresse aux sommes
pour 2 < z < x. (Ce nombre dépend évidemment aussi de x, et on cherche certainement à l'estimer de manière explicite en fonction de x.)
Il faut penser que x est grand et que l'on veut prendre 2 , fonction de x, aussi
grand que possible, idéalement z = xl/* ($ (1.7)) pour aborder les propriétés de d
restreinte aux nombres premiers, mais z = xM avec cc < 1/2 fixé donne des renseignements utiles.
Nous reprenons la discussion du crible classique tel que développé originellement
par Brun en rappelant la formule du crible exacte de Legendre (1.9). Le lecteur est
encouragé à relire la Section 1.5 avant de continuer.
Lemme 5.1 .l. - Soit 9 comme ci-dessus. On a pour 2 < z < x
CRIBLE ET SOMMES OSCILLANTES
SUR LES NOMBRES PREMIERS
5.1. Le crible en général
Rappelons ($ Section 1.5) que les méthodes de crible ont pour objectif l'étude
du comportement de suites de nombres (complexes) d = (a,) lorsqu'elles sont restreintes aux entiers sans facteurs premiers plus petit qu'un certain paramètre. Plus
généralement, afin de pouvoir étudier aussi les entiers dont seulement certains facteurs premiers vérifient une certaine condition, soit 9 un ensemble (en général
infini) de nombres premiers fixé une fois pour toute, et posons
Ayant fixé x 2 O, on s'intéresse aux sommes
pour 2 < z < x. (Ce nombre dépend évidemment aussi de x, et on cherche certainement à l'estimer de manière explicite en fonction de x.)
Il faut penser que x est grand et que l'on veut prendre 2 , fonction de x, aussi
grand que possible, idéalement z = xl/* ($ (1.7)) pour aborder les propriétés de d
restreinte aux nombres premiers, mais z = xM avec cc < 1/2 fixé donne des renseignements utiles.
Nous reprenons la discussion du crible classique tel que développé originellement
par Brun en rappelant la formule du crible exacte de Legendre (1.9). Le lecteur est
encouragé à relire la Section 1.5 avant de continuer.
Lemme 5.1 .l. - Soit 9 comme ci-dessus. On a pour 2 < z < x