Fascicule de résultats
9 1. Fonctions différentiables
Dans ce paragraphe, la lettre E désigne un espace vectoriel topologique
normable sur K ; la lettre F désigne un espace polynormé séparé sur K.
1.1 Ordre de contact & deux fonctions en un point
1.1.1. Soient X un espace topologique et 8 une fonction numérique positive
définie dans un voisinage d'un point x, de X. On dit qu'une fonction f,
définie dans un voisinage de x, et à valeurs dans F, est négligeable devant 8
en x, si la condition suivante est satisfaite :
Pour tout E > 0 et pour toute semi-norme y continue sur F, il existe
un voisinage V de x, sur lequel f et 8 sont définies et tel que
Il f (x)l], < e8(x) pour tout x E V .
Pour que f soit négligeable devant 0, il suffit que cette condition soit
satisfaite pour une famille de semi-normes y définissant la topologie de F.
Le faite que f soit négligeable ou non devant O en x, ne dépend que des
germes de f et de 8 en x,. On désigne par o,(B) (ou o(8) lorsqu'il n'y a
pas d'ambiguité sur x,) l'ensemble des germes en x, de fonctions négligeables devant 8 en x, : c'est un sous-espace vectoriel de i'espace des germes
en x, d'applications à valeurs dans F. Si f est négligeable devant O, on
écrira par abus de notations, f t z o,,(O) ou encore f ( x ) E o(O(x)) lorsque x
tend vers x,.
Si f et g sont deux applications d'un voisinage de x, dans F, on
écrira encore f r g mod O($) si f - g est négligeable devant 8.
Supposons que K soit égal à R ou C et que x, soit adhérent a
l'ensemble Y des pomts de X où 8 est définie et non nulle. La relation
fez O($) signifie alors que f(x)/O(x) tend vers O lorsque x tend vers x, en
restant dans Y, et que 8(x) = O entraîne f ( x ) = 0.
1.1.2. Soient f et g deux fonctions a valeurs dans F, définies au voisinage
d'un point x, de E. Si m est un entier positif, on dit que f et g ont un
contact d'ordre 3 m en x, si l'on a :
f ( x ) - g(x) E o(11x - xollm) pour x tendant vers x,
9 1. Fonctions différentiables
Dans ce paragraphe, la lettre E désigne un espace vectoriel topologique
normable sur K ; la lettre F désigne un espace polynormé séparé sur K.
1.1 Ordre de contact & deux fonctions en un point
1.1.1. Soient X un espace topologique et 8 une fonction numérique positive
définie dans un voisinage d'un point x, de X. On dit qu'une fonction f,
définie dans un voisinage de x, et à valeurs dans F, est négligeable devant 8
en x, si la condition suivante est satisfaite :
Pour tout E > 0 et pour toute semi-norme y continue sur F, il existe
un voisinage V de x, sur lequel f et 8 sont définies et tel que
Il f (x)l], < e8(x) pour tout x E V .
Pour que f soit négligeable devant 0, il suffit que cette condition soit
satisfaite pour une famille de semi-normes y définissant la topologie de F.
Le faite que f soit négligeable ou non devant O en x, ne dépend que des
germes de f et de 8 en x,. On désigne par o,(B) (ou o(8) lorsqu'il n'y a
pas d'ambiguité sur x,) l'ensemble des germes en x, de fonctions négligeables devant 8 en x, : c'est un sous-espace vectoriel de i'espace des germes
en x, d'applications à valeurs dans F. Si f est négligeable devant O, on
écrira par abus de notations, f t z o,,(O) ou encore f ( x ) E o(O(x)) lorsque x
tend vers x,.
Si f et g sont deux applications d'un voisinage de x, dans F, on
écrira encore f r g mod O($) si f - g est négligeable devant 8.
Supposons que K soit égal à R ou C et que x, soit adhérent a
l'ensemble Y des pomts de X où 8 est définie et non nulle. La relation
fez O($) signifie alors que f(x)/O(x) tend vers O lorsque x tend vers x, en
restant dans Y, et que 8(x) = O entraîne f ( x ) = 0.
1.1.2. Soient f et g deux fonctions a valeurs dans F, définies au voisinage
d'un point x, de E. Si m est un entier positif, on dit que f et g ont un
contact d'ordre 3 m en x, si l'on a :
f ( x ) - g(x) E o(11x - xollm) pour x tendant vers x,