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VARIÉ~ÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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quelle que soit la norme choisie pour définir la topologie de E. Pour cela,
il suffit que la relation précédente soit vérifiée pour une norme définissant la
topologie de E. S'il en est ainsi, on a f (x,) = g(x,).
Si f et g prennent la même valeur en x, on appelle ordre de contact de
f et g en x, la borne supérieure (finie ou égale à + oo) des entiers m tels
que f et g aient un contact d'ordre 2 m en x,.
1.1.3. L'ordre de contact de f et g en x, ne dépend que des germes de ces
fonctions au point x,. On peut donc parler de l'ordre de contact de deux
germes cp et t , b d'applications de E dans F au point x,. La relation
« cp et t + $ ont un contact d'ordre 3 m » est une relation d'équivalence compatible avec la structure vectorielle.
1.2. Fonctions dérivables en un point
1.2.1. Soit f une fonction définie dans un voisinage du point x, de E et à
valeurs dans F. On dit que f est dérivable en x , s'il existe une fonction
affine continue Y de E dans F ayant en x , un contact d'ordre 2 1
avec 1: Cette application u est unique; il existe une application linéaire
continue et une seule, notée Df (x,), de E dans F telle que:
D(x) = Nxo) + Df ( ~ 0 ) .
(x - ~ 0 ) -
Si I'on choisit une norme sur E, ceci équivaut à :
f (xo + h) = f (x,) + Df (x,) . h mod O([[ hll) pour h tendant vers O,
ce que I'on peut encore écrire sous la forme :
pour toute semi-norme y continue sur F.
L'élément Df(x,) de 9 ( E , F) s'appelle la dérivée de f en x,. On écrit
parfois Dh f (x,) pour D f (x,) . h ; c'est une élément de F défini par la
relation :
Dh f(x,) = lim f (xo + th) - f (xo)
t-+o.t+o
t
1.2.2. On dit qu'une fonction f est strictement dérivable en x, si elle est
dérivable en x, et si I'on a, pour toute norme définissant la topologie de E,
la relation :
pour (y, z ) tendant vers (x,, x,) dans E x E. Pour cela, il suffit que cette
condition soit satisfaite pour une norme définissant la topologie de E.
Supposons de plus E et F normés; pour tout nombre c > IIDf(xo)ll, il
VARIÉ~ÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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quelle que soit la norme choisie pour définir la topologie de E. Pour cela,
il suffit que la relation précédente soit vérifiée pour une norme définissant la
topologie de E. S'il en est ainsi, on a f (x,) = g(x,).
Si f et g prennent la même valeur en x, on appelle ordre de contact de
f et g en x, la borne supérieure (finie ou égale à + oo) des entiers m tels
que f et g aient un contact d'ordre 2 m en x,.
1.1.3. L'ordre de contact de f et g en x, ne dépend que des germes de ces
fonctions au point x,. On peut donc parler de l'ordre de contact de deux
germes cp et t , b d'applications de E dans F au point x,. La relation
« cp et t + $ ont un contact d'ordre 3 m » est une relation d'équivalence compatible avec la structure vectorielle.
1.2. Fonctions dérivables en un point
1.2.1. Soit f une fonction définie dans un voisinage du point x, de E et à
valeurs dans F. On dit que f est dérivable en x , s'il existe une fonction
affine continue Y de E dans F ayant en x , un contact d'ordre 2 1
avec 1: Cette application u est unique; il existe une application linéaire
continue et une seule, notée Df (x,), de E dans F telle que:
D(x) = Nxo) + Df ( ~ 0 ) .
(x - ~ 0 ) -
Si I'on choisit une norme sur E, ceci équivaut à :
f (xo + h) = f (x,) + Df (x,) . h mod O([[ hll) pour h tendant vers O,
ce que I'on peut encore écrire sous la forme :
pour toute semi-norme y continue sur F.
L'élément Df(x,) de 9 ( E , F) s'appelle la dérivée de f en x,. On écrit
parfois Dh f (x,) pour D f (x,) . h ; c'est une élément de F défini par la
relation :
Dh f(x,) = lim f (xo + th) - f (xo)
t-+o.t+o
t
1.2.2. On dit qu'une fonction f est strictement dérivable en x, si elle est
dérivable en x, et si I'on a, pour toute norme définissant la topologie de E,
la relation :
pour (y, z ) tendant vers (x,, x,) dans E x E. Pour cela, il suffit que cette
condition soit satisfaite pour une norme définissant la topologie de E.
Supposons de plus E et F normés; pour tout nombre c > IIDf(xo)ll, il