existe alors un voisinage V de x, tel que II f (y) - f < c. 11 y - zll pour
y, z dans V ; ceci entraîne que f est uniformément continue dans V.
1.2.3. Le fait pour une fonction f d'être dérivable ou strictement dérivable
en x, ne dépend que du germe de f en x,. Les germes de fonctions dérivables en x, forment un sous-espace vectoriel Y de l'espace de tous les
germes et l'application f H Df (x,) de Y dans Y(E; F) est linéaire. Les
germes de fonctions.stricternent dérivables en x, forment un sous-espace
vectoriel de Y.
1.2.4. Une fonction dérivable en x, est continue en .x,.
1.2.5. Lorsque E = K, l'application u . - u(1) est un isomorphisme de
9 ( E ; F) sur F; si la fonction f est dérivable en x,, l'élément
n'est autre que la dérivée de f en x, au sens donné dans Fonct. Var. Réelle,
chap. 1, 4 1, no 6, remarque 2.
I .S. Composition des fonctions dériaables
1.3.1. Supposons F normable. Soient X,EE et Y,EF, U un voisinage
de x, et V un voisinage de y, ; enfin soit f une application de U dans
V, dérivable en x,, avec f(x,) = y,. Si g est une application de V
dans un espace vectoriel polynormé séparé G, dérivable en y,, l'application
g of de U dans G est dérivable en x,, et l'on a :
(1)
D(g o f h o ) = Dg(y0) O Df (~0).
Si f et g sont strictement dérivables, il en est de même de g 05
1.3.2. Soit f une application définie au voisinage d'un point x, de E
et à valeurs dans F, dérivable en x, ; si u est une application linéaire continue
de F dans un espace polynormé séparé G, la fonction u o f est dérivable
en x, et l'on a :
1.3.3. Supposons que F soit produit d'une famille (Fi),, d'espaces vectoriels polynormés séparés; pour tout i dans 1, soit 1;: une application
définie dans un voisinage U d'un point x, de E et a valeurs dans F et
soit f = ( A) ,
.
Pour que f soit dérivable (resp. strictement dérivable) en
x,, il faut et il suffit que tous les 1;: le soient ; on a :
(3)
Dbf (xO) = ( D , , f i ( ~ ~ ) ) ~ ~ ~
pour tout h dans E.
1.3.4. Si E = K, on peut remplacer Df(x,) par f '(x,) et D,f;,(x,) par
f f(xo) dans les formules (1) et (3).
y, z dans V ; ceci entraîne que f est uniformément continue dans V.
1.2.3. Le fait pour une fonction f d'être dérivable ou strictement dérivable
en x, ne dépend que du germe de f en x,. Les germes de fonctions dérivables en x, forment un sous-espace vectoriel Y de l'espace de tous les
germes et l'application f H Df (x,) de Y dans Y(E; F) est linéaire. Les
germes de fonctions.stricternent dérivables en x, forment un sous-espace
vectoriel de Y.
1.2.4. Une fonction dérivable en x, est continue en .x,.
1.2.5. Lorsque E = K, l'application u . - u(1) est un isomorphisme de
9 ( E ; F) sur F; si la fonction f est dérivable en x,, l'élément
n'est autre que la dérivée de f en x, au sens donné dans Fonct. Var. Réelle,
chap. 1, 4 1, no 6, remarque 2.
I .S. Composition des fonctions dériaables
1.3.1. Supposons F normable. Soient X,EE et Y,EF, U un voisinage
de x, et V un voisinage de y, ; enfin soit f une application de U dans
V, dérivable en x,, avec f(x,) = y,. Si g est une application de V
dans un espace vectoriel polynormé séparé G, dérivable en y,, l'application
g of de U dans G est dérivable en x,, et l'on a :
(1)
D(g o f h o ) = Dg(y0) O Df (~0).
Si f et g sont strictement dérivables, il en est de même de g 05
1.3.2. Soit f une application définie au voisinage d'un point x, de E
et à valeurs dans F, dérivable en x, ; si u est une application linéaire continue
de F dans un espace polynormé séparé G, la fonction u o f est dérivable
en x, et l'on a :
1.3.3. Supposons que F soit produit d'une famille (Fi),, d'espaces vectoriels polynormés séparés; pour tout i dans 1, soit 1;: une application
définie dans un voisinage U d'un point x, de E et a valeurs dans F et
soit f = ( A) ,
.
Pour que f soit dérivable (resp. strictement dérivable) en
x,, il faut et il suffit que tous les 1;: le soient ; on a :
(3)
Dbf (xO) = ( D , , f i ( ~ ~ ) ) ~ ~ ~
pour tout h dans E.
1.3.4. Si E = K, on peut remplacer Df(x,) par f '(x,) et D,f;,(x,) par
f f(xo) dans les formules (1) et (3).