1.4. Produit de fonctions dérivables
1.4.1. Soient F I , . . . , Fm des espaces polynormés séparés et u une application
m-linéaire continue de FI x - . . x Fm dans F. Soit U un voisinage d'un
point x, de E, et soit f;- une application de U dans Fi (pour 1 < i < m).
Si les f;- sont dérivables (resp. strictement dérivables) en x,, il en est de
même de u(f,, . . . , f m ) = g et l'ona:
ce que l'on écrira plus succinctement
En particulier, pour m = 2, on a :
Pour m = 1, on retrouve 1.3.2.
1.4.2. Lorsque E = K, on peut remplacer Dg par g' et Dfi par fi' dans
les formules (4) a (6).
1.5. Premières variantes ah théorème des fonctions implicites
Supposons que E et F sont des espaces de Banach'et soient x, un point de
E, U un voisinage de x, et f une applicatioti de U dans F. On suppose
de plus que f est strictement dérivable en x,.
1.5.1. Si Df(x,) est un isomorphisme de E sur F, il existe un voisinage
ouvert U, de x, contenu dans U et un voisinage ouvert V, de f (x,)
tels que flU, soit un homéomorphisme de U, sur V,. L'application
g : V, + U, réciproque de f lu, est strictement dérivable au point f (x,)
et l'on a :
JMf (~0)) = Df ( ~ 0 ) -
' .
1.5.2. Si Df (x,) est une application surjective de E sur F, il existe un
voisinage ouvert U, de x, contenu dans U, tel que flU, soit une
application ouverte.
1.5.3. Si Df (x,) est injective et d'image fermée, il existe un voisinage fermé
U, de x, contenu dans U, tel que flU, soit un homéomorphisme de
U, sur une partie fermée de F.