1.6. Dérivées partieks
1.6.1. Soit f une fonction définie dans un voisinage U du point x , de E
et à valeurs dans F. Soient X un sous-espace vectoriel de E et V I'ensemble des points x de X . tels que x , + x E U ; posons g(x) = f ( x , + x )
pour x E V: On dit que f admet une dérivée partielle suivant X en x , si g
admet une dérivée en 0 ; cette dérivée se note Dx f (x,); c'est une application
linéaire continue de X dans F. Si f est dérivable en x,, elle admet une
dérivée partielle suivant X en x , et cette dérivée partielle est la restriction
de Df(x,) à X.
1.6.2. Supposons que E soit produit d'une famille finie d'espaces vectoriels
normés Ei (1 G i < n) identifiés canoniquement à des sous-espaces de E;
soit x , = (x:, . . . , 4) dans E et soit U un voisinage de x , dans E;
enfin soit f une application de U dans F. On note Di f ( x , ) la dérivée
au point x& si elle existe, de l'application z i - f (x:, . . . , z i , . . . ,G)
définie au voisinage de xb dans Ei et à valeurs dans F. C'est un élément
de 2'(Ei; F ) que l'on appelle la i-ème dérivée partielle de f en x,. Si f est
dérivable en x,, les n dérivées partielles existent, et déterminent D f (x,)
par la formule :
"
D f (x,) . h =
Di f (x,) . hi
pour h = (hl, . . . , h,) dans E.
i= 1
1.6.3. Plus particulièrement, soit E = Kn. Si les dérivées partielles de f en
x, existent, on note ai f (x,) l'élément D i f (x,) . 1 de F. L'écriture suivante
est souvent usitée ; supposons qu'on ait choisi une notation pour les fonctions coordonnées sur Kn, par exemple ui désigne la i-&ne projection de
Kn sur K. On écrit alors :
au lieu de ai f (x,).
1.6.4. Soient E = Kn et F = Km ; supposons que la fonction f = ( f , , . . . , f,)
à valeurs dans F soit dérivable au point x , de E. Les dérivées partielles aji = a,&,(~,) existent alors (ce sont des éléments de K). La matrice
à m lignes et n colonnes formée des aji (élément de la ligne d'indice j et
de la colonne d'indice i) s'appelle la matrice jacobienne de f en x,; c'est
la matrice de l'application linéaire Df (x,) de Kn dans K" par rapport
aux bases canoniques de ces espaces.
1.7. Dérivées itérées
1.7.1. Soit f une fonction définie dans un voisinage d'un point x , de E,
à valeurs dans F. Si f est dérivable au voisinage de x,, sa dérivée Dj' est
une application d'un voisinage de x , dans l'espace polynormé 2 ( E ; F)
des applications linéaires continues de E dans F. Soit p un entier >2:
1.6.1. Soit f une fonction définie dans un voisinage U du point x , de E
et à valeurs dans F. Soient X un sous-espace vectoriel de E et V I'ensemble des points x de X . tels que x , + x E U ; posons g(x) = f ( x , + x )
pour x E V: On dit que f admet une dérivée partielle suivant X en x , si g
admet une dérivée en 0 ; cette dérivée se note Dx f (x,); c'est une application
linéaire continue de X dans F. Si f est dérivable en x,, elle admet une
dérivée partielle suivant X en x , et cette dérivée partielle est la restriction
de Df(x,) à X.
1.6.2. Supposons que E soit produit d'une famille finie d'espaces vectoriels
normés Ei (1 G i < n) identifiés canoniquement à des sous-espaces de E;
soit x , = (x:, . . . , 4) dans E et soit U un voisinage de x , dans E;
enfin soit f une application de U dans F. On note Di f ( x , ) la dérivée
au point x& si elle existe, de l'application z i - f (x:, . . . , z i , . . . ,G)
définie au voisinage de xb dans Ei et à valeurs dans F. C'est un élément
de 2'(Ei; F ) que l'on appelle la i-ème dérivée partielle de f en x,. Si f est
dérivable en x,, les n dérivées partielles existent, et déterminent D f (x,)
par la formule :
"
D f (x,) . h =
Di f (x,) . hi
pour h = (hl, . . . , h,) dans E.
i= 1
1.6.3. Plus particulièrement, soit E = Kn. Si les dérivées partielles de f en
x, existent, on note ai f (x,) l'élément D i f (x,) . 1 de F. L'écriture suivante
est souvent usitée ; supposons qu'on ait choisi une notation pour les fonctions coordonnées sur Kn, par exemple ui désigne la i-&ne projection de
Kn sur K. On écrit alors :
au lieu de ai f (x,).
1.6.4. Soient E = Kn et F = Km ; supposons que la fonction f = ( f , , . . . , f,)
à valeurs dans F soit dérivable au point x , de E. Les dérivées partielles aji = a,&,(~,) existent alors (ce sont des éléments de K). La matrice
à m lignes et n colonnes formée des aji (élément de la ligne d'indice j et
de la colonne d'indice i) s'appelle la matrice jacobienne de f en x,; c'est
la matrice de l'application linéaire Df (x,) de Kn dans K" par rapport
aux bases canoniques de ces espaces.
1.7. Dérivées itérées
1.7.1. Soit f une fonction définie dans un voisinage d'un point x , de E,
à valeurs dans F. Si f est dérivable au voisinage de x,, sa dérivée Dj' est
une application d'un voisinage de x , dans l'espace polynormé 2 ( E ; F)
des applications linéaires continues de E dans F. Soit p un entier >2: