on dit que f est p fois dérivable en xo si f est dérivable au voisinage de
x, et si sa dérivée Df est (p - 1) fois dérivable en x,. On définit alors la
dérivée p-ième de j en x, : c'est l'application p-linéaire continue DY(xo)
de EP dans F, définie par:
DY(~o).(hl, ..., hp) = (D(DP-'f)(xo).h1).(hz, ..., h,).
On pose aussi D"f = f et D'f = Df. Si f est p fois dérivable en x, et
si q et s sont deux entiers tels que q + s = p, avec s > O, alors f est
q fois dérivable au voisinage de x,, la fonction D9f (à valeurs dans
Y&E; F)) est s fois dérivable en x, et on a :
relation que l'on écrit par abus de notation sous la forme :
1.7.2. Soient (Ei), , , , , des sous-espaces vectoriels fermés de E, tels que
E soit somme directe topologique des E,. On définit alors, quand elle existe,
la dérivée partielle itérée Di, . . . Di_ f d'une application f d'un voisinage de
x, E E dans F; c'est une application multilinkaire continue de
dans F, définie par récurrence sur l'entier m 2 1 comme suit: si
Di,. . . Di, f (x) existe dans un voisinage de x, et possède une dérivée
partielle suivant E,,, alors Di, . . . Dim f (xO) est donnée par :
pour h, cz E,.
Si f est m fois dérivable en x, alors la dérivée partielle Di, . . . Di, f (xo)
existe et est égale à la restriction de D'"f(xo) au sous-espace E,, x .. - x Eim
de Em. Par suite, Dmf(xo) est complètement déterminée par les dérivées
partielles itérées d'ordre m en xo.
1.7.3. Supposons que E soit de dimension finie et soit (el, . . . , e,) une
base de E. Posons Ei = Ke, et soit f une application d'un voisinage
de x,, à valeurs dans F. Si la dérivée partielle Di, . . . Di, f (x,) (avec
les notations de 1.7.2) existe, on pose :
ail . . . aimf (xo) = Di, . . . Di, f (x,) . (e,, , . . . , e,,).