tj 2. Fonctions différentiables réelles
Dans ce paragraphe, on suppose que K = R. La lettre E désigne un
espace vectoriel normé sur R ; la lettre F désigne un espace vectoriel
topologique localement convexe séparé sur R.
2.1. onctions dérivables en un point
2.1.1. -Soit f une fonction définie au voisinage d'un point xo de E et à
valeurs dans F. Soit u un élément de l'espace Y(E ; F) des applications
linéaires continues de E dans F. Pour que f soit dérivable en x;et
y
admette u pour dérivée, il faut et s a t que l'on ait
2.1.2. Pour que f soit strictement dérivable en xo7 il faut et suffit que l'on
2.1.3. Soient F, et F, deux espaces localement convexes séparés et soit
u une application bilinéaire de F, x F, dans F, satisfaisant a la condition de continuité suivante :
(SC) Si ((a,, b,)) est une suite d'éléments de F, x F, convergeant vers
un élément (a, b ) ~
Fl x F,, alors la suite (u(a,, b,)) converge vers u(a, b)
dans F.
Soit f;. (pour i = 1, 2) une application d'un voisinage d'un point xo
de E dans Fi. Si fl et f2 sont dérivables en x,, alors u(f,, f2) est
dérivable en xo et l'on a :
pour tout h E E.
2.2. Le théorème des accroissements~jinis
2.2.1. Soient x, y dans E, et [x, y] le segment fermé joignant ces deux
points. Soit de plus f une application d'un voisinage de [x, y] dans
l'espace F, dérivable en tout point de [x, y]. Alors f ( x ) - f (y) appartient
à i'enveloppe convexe fermée de l'ensemble des points Df (2) . (x - y) pour
z dans [x, y].
2.2.2. Soient U un ouvert connexe de E, et f une application de U dans
Dans ce paragraphe, on suppose que K = R. La lettre E désigne un
espace vectoriel normé sur R ; la lettre F désigne un espace vectoriel
topologique localement convexe séparé sur R.
2.1. onctions dérivables en un point
2.1.1. -Soit f une fonction définie au voisinage d'un point xo de E et à
valeurs dans F. Soit u un élément de l'espace Y(E ; F) des applications
linéaires continues de E dans F. Pour que f soit dérivable en x;et
y
admette u pour dérivée, il faut et s a t que l'on ait
2.1.2. Pour que f soit strictement dérivable en xo7 il faut et suffit que l'on
2.1.3. Soient F, et F, deux espaces localement convexes séparés et soit
u une application bilinéaire de F, x F, dans F, satisfaisant a la condition de continuité suivante :
(SC) Si ((a,, b,)) est une suite d'éléments de F, x F, convergeant vers
un élément (a, b ) ~
Fl x F,, alors la suite (u(a,, b,)) converge vers u(a, b)
dans F.
Soit f;. (pour i = 1, 2) une application d'un voisinage d'un point xo
de E dans Fi. Si fl et f2 sont dérivables en x,, alors u(f,, f2) est
dérivable en xo et l'on a :
pour tout h E E.
2.2. Le théorème des accroissements~jinis
2.2.1. Soient x, y dans E, et [x, y] le segment fermé joignant ces deux
points. Soit de plus f une application d'un voisinage de [x, y] dans
l'espace F, dérivable en tout point de [x, y]. Alors f ( x ) - f (y) appartient
à i'enveloppe convexe fermée de l'ensemble des points Df (2) . (x - y) pour
z dans [x, y].
2.2.2. Soient U un ouvert connexe de E, et f une application de U dans