F, admettant une dérivée nulle en tout point de U ; alors f est constante
dans U.
2.2.3. Soient U un ouvert convexe de E, et f une application de U
dans F, dérivable en tout point de U. Etant donnés une semi-norme
continue y sur F et un nombre réel M 2 O, les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) Pour tout x dans U, on a I I Df (x)ll y < M.
(ii) Pour tout x et tout y dans U, on a Il f ( x ) - f (.y)lly < M: Ilx - yll.
2.2.4. Soit U un voisinage d'un point x, de E et soit f une fonction
définie dans le complémentaire de x, dans U, a valeurs dans F. Supposons que f admet une dérivée Df(x) en tout point x de U, x # x,, et
que la fonction XH Df(x) admet une limite Do quand x tend vers x,.
Alors, si dim (E) 2 2, f a une limite en x, et la fonction f prolongée par
continuité à U tout entier est dérivable de dérivée Do en xo ; il en est de
même si dim (E) = 1 et qu'on suppose que f a une limite en x,.
2.3. Fonctions & classe C' ( r # o)
2.3.1. Soient U un ouvert de E et f une application de U dans F. On
définit la ielation « f est de classe C' D (pour r E N) par récurrence sur r
de la manière suivante :
1) f est de classe Co si et seulement si elle est continue;
2) si r est un entier 2 1, la .fonction f est de classe C' si et seulement
si elle est dérivable en tout point de U et si l'application dérivée Df de
U dans 9 ( E ; F) est de classe Cr- ' .
Les fonctions de classe C sont aussi appelées fonctions r fois contin0ment dérivables.
On dit que f est de classe Cm (ou indéfiniment dérivable) si elle est de
classe Cr pour tout entier r.
Si f est de classe Cr dans U, alors f est p fois dérivable pour tout
entier p < r et la fonction DPf est de classe Cr-9
2.3.2. Les applications de classe C' d'un ouvert U de E dans F forment
un sous-espace vectoriel V'(U;F) de l'espace de toutes les applications
de U dans F. On a gS(U ; F) c V(U ; F) pour s 2 r.
2.3.3. Pour qu'une fonction f soit de classe C' dans un ouvert U de
E, il faut et il suffit qu'elle soit strictement dérivable en tout point de U.
Si E est un produit d'espaces normés Ei, une application f d'un
ouvert V de E dans F est de classe C' si et seulement si f possède des
dérivées partielles itérées Di, . . . Di, f continues pour tout entier m < r.