no 2.5
FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES RÉELLES
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2.3.4. Soit G un espace normé et soit U un ouvert de E. Soient V un
ouvert de G, g E Wr(U ; G) et f E V'(V ; F). Si g(U) c V, l'application
f 0 g de U dans F est de classe C'.
Soient F, et F, deux espaces localement convexes séparés et u une
application bilinéaire de F, x F, dans F, hypocontinue par rapport à
l'ensemble des parties bornées de F1 (resp. F,) (Esp. Vect. Top, ch. III,
5 4, no 2). Soient U un ouvert de E et f, E W(U ;Fi) (pour i = 1,2). Alors
la fonction u(f,, f,) appartient à gr(U;F). Si E est de dimension $nie, il
suffit de supposer que u satisfait à la condition (SC) du no 2.1.3.
2.3.5. Si E est un produit d'espaces normés Ei (1 < i < n) et si f est une
application n-linéaire continue de E dans F, alors f est de classe Cm
et l'ona DPf = O pour p 2 n + 1.
2.3.6. Supposons que E et F soient des espaces de Banach. Soit f une
fonction de classe C' (avec r 2 1) définie dans un voisinage d'un point
x, de E et a valeurs dans F. Soit y, = f (x,) et .supposons que Df (x,)
soit un isomorphisme de E sur F. Alors f induit un homéomorphisme
g d'un voisinage de x, sur un voisinage de y, (1.5) et l'application réciproque de g est de classe C' au voisinage de y,.
2.4. Dérivées des fonctions de classe C'
2.4.1. Soit f une application de classe C' d'un ouvert U de E dans F.
Pour tout x E U, et tout entiers avec s < r, l'application multilinéaire D"f(x)
est symétrique.
2.4.2. Supposons de plus E de dimension finie et soit (el, . . . , en) une base
de E. Les dérivées partielles a,, . . . ais f dépendent symétriquement des
indices il, . . . , i , . Soit cr, le nombre de fois que l'indice k intervient dans
la suite i,, . . . , i, et soit a = (a,, . . . , a,). On pose alors:
Lorsque les coordonnées relatives à la base (el, . . . , en) sont notées
x,, . . . , x,, on écrit aussi a7 sous la forme :
2.5. Formule de Taylor
2.5.1. Soit r un entier 2 1 et soit f une application de classe C' d'un
ouvert U de E dans F. Pour X E U, h~ E et p < r, convenons d'écrire
DY(x0). hP au lieu de DPf(x,). (h,. . . , h). Si le segment [x, x + hl est
FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES RÉELLES
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2.3.4. Soit G un espace normé et soit U un ouvert de E. Soient V un
ouvert de G, g E Wr(U ; G) et f E V'(V ; F). Si g(U) c V, l'application
f 0 g de U dans F est de classe C'.
Soient F, et F, deux espaces localement convexes séparés et u une
application bilinéaire de F, x F, dans F, hypocontinue par rapport à
l'ensemble des parties bornées de F1 (resp. F,) (Esp. Vect. Top, ch. III,
5 4, no 2). Soient U un ouvert de E et f, E W(U ;Fi) (pour i = 1,2). Alors
la fonction u(f,, f,) appartient à gr(U;F). Si E est de dimension $nie, il
suffit de supposer que u satisfait à la condition (SC) du no 2.1.3.
2.3.5. Si E est un produit d'espaces normés Ei (1 < i < n) et si f est une
application n-linéaire continue de E dans F, alors f est de classe Cm
et l'ona DPf = O pour p 2 n + 1.
2.3.6. Supposons que E et F soient des espaces de Banach. Soit f une
fonction de classe C' (avec r 2 1) définie dans un voisinage d'un point
x, de E et a valeurs dans F. Soit y, = f (x,) et .supposons que Df (x,)
soit un isomorphisme de E sur F. Alors f induit un homéomorphisme
g d'un voisinage de x, sur un voisinage de y, (1.5) et l'application réciproque de g est de classe C' au voisinage de y,.
2.4. Dérivées des fonctions de classe C'
2.4.1. Soit f une application de classe C' d'un ouvert U de E dans F.
Pour tout x E U, et tout entiers avec s < r, l'application multilinéaire D"f(x)
est symétrique.
2.4.2. Supposons de plus E de dimension finie et soit (el, . . . , en) une base
de E. Les dérivées partielles a,, . . . ais f dépendent symétriquement des
indices il, . . . , i , . Soit cr, le nombre de fois que l'indice k intervient dans
la suite i,, . . . , i, et soit a = (a,, . . . , a,). On pose alors:
Lorsque les coordonnées relatives à la base (el, . . . , en) sont notées
x,, . . . , x,, on écrit aussi a7 sous la forme :
2.5. Formule de Taylor
2.5.1. Soit r un entier 2 1 et soit f une application de classe C' d'un
ouvert U de E dans F. Pour X E U, h~ E et p < r, convenons d'écrire
DY(x0). hP au lieu de DPf(x,). (h,. . . , h). Si le segment [x, x + hl est