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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
contenu dans U , on a la formule (K formule de Tuylor ») :
où le « reste B vr(x ; h) est donné par
(1 - q - 1
V,(X ; h) =
D'f(x + th). h' dt
1
V,(X ; h) = -D'f(x) . h' mod O ( / \ hl\ ' ) quand h tend vers O
r !
1
f (x + h) = C DPf(x). hP mod o(llhJlr)
p=oP.
quand h tend vers zéro.
2.5.2. Soit de plus y une semi-norme continue sur F ; si l'on a IID'f (z)ll, < M
pour tout point z du segment [x, x + hl, alors on a :
2.5.3. Supposons en outre que E = Rn. On a alors:
f (x + h) = 1 A"f(x)ha mod o(llhllP) quand h tend vers O
lirl en posant :
2.5.4. Soient f et g deux fonctions de classe C' sur un ouvert U de E,
à valeurs dans F. Pour que f et g aient en un point x de U un contact
d'ordre 2 r, il faut et il suffit que l'on ait DPf ( x ) = DPg(x) pour tout entier
p avec O < p < r. Lorsque E est de dimension finie, cela revient a dire
que les dérivées partielles itérées d'ordre < r de f et de g (par rapport
à une base de E) sont égales au point x.
2.5.5. Soit U un ouvert de E x Rn de la forme V x 1, x - - . x In, où
V est un ouvert de E et I,, . . . , I n des intervalles ouverts de R contenant
O. Posons Uo = V et Uj = V x 1, x - - - x Ii pour 1 < J < n. Etant
donnée une fonction f E Wr(U ; F ) (avec 1 < r C a), il existe une suite et