no 2.6
FONCTIONS ANALYTIQUES REELLES OU COMPLEXES
2 1
une seule de fonctions fi E V'- '(Ui;F) (pour O < j < n) telle que :
pour s e V et t j e I j . O n a :
pour 1 d j < n. Dans cette dernière formule, d j f désigne la j-ième dérivée
partielle de la fonction (t,, . . . , t,) w f (y t,, . . . , t,).
2.6. Critères de dérivabilité
2.6.1. Supposons que F, outre sa topologie 5 , soit muni d'une topologie
moins fine 5: qui fait aussi de F un espace localement convexe séparé.
Supposons en outre que Y et Y' satisfassent à la condition suivante:
(S) Pour tout voisinage V de O pour la topologie Y, il existe un voisinage
W de O pour 5 tel que l'enveloppe convexe .T'-fermée de toute partie
5-compacte de W soit contenue dans V.
Soit f une application d'un ouvert U de E dans F. Supposons que
j' est de classe C' (1 < r < CO) lorsque I'on munit F de la topologie
.JI', que Dmf(x) est, pour tout x de U, et tout entier m < r, une application multilinéaire continue de Em dans F muni de la topologie Y et que
l'application XI-+ Dmf(x) est continue de U dans Pm(E; F) (F étant
muni de la topologie Y). Alors f est de classe C' lorsque I'on munit
F de la topologie 9 et ses dérivées Dmf sont les mêmes pour Y et
pour 5'.
La condition (S) est en particulier réalisée s'il existe un système fondamental de voisinages de O pour la topologie 9- qui sont fermés pour la
topologie Y': c'est le cas si le dual de F muni de 5 est identique au dual
de F muni de Y'. La condition (S) est également réalisée si F muni
de la topologie 9 est quasi-complet (Esp. Vect. Top., ch. III, 5 2, no 5).
2.6.2. Soit f une application d'un ouvert U de E dans F. Si f est de
classe Cr (avec O d r d CO), les fonctions scalaires u O f sont de classe
C' pour toute forme linéaire continue u sur F. Réciproquement si F
est quasi-complet et si les fonctions u O f sont de classe Cr+' pour tout
u E F', alors f est de classe C'.
FONCTIONS ANALYTIQUES REELLES OU COMPLEXES
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une seule de fonctions fi E V'- '(Ui;F) (pour O < j < n) telle que :
pour s e V et t j e I j . O n a :
pour 1 d j < n. Dans cette dernière formule, d j f désigne la j-ième dérivée
partielle de la fonction (t,, . . . , t,) w f (y t,, . . . , t,).
2.6. Critères de dérivabilité
2.6.1. Supposons que F, outre sa topologie 5 , soit muni d'une topologie
moins fine 5: qui fait aussi de F un espace localement convexe séparé.
Supposons en outre que Y et Y' satisfassent à la condition suivante:
(S) Pour tout voisinage V de O pour la topologie Y, il existe un voisinage
W de O pour 5 tel que l'enveloppe convexe .T'-fermée de toute partie
5-compacte de W soit contenue dans V.
Soit f une application d'un ouvert U de E dans F. Supposons que
j' est de classe C' (1 < r < CO) lorsque I'on munit F de la topologie
.JI', que Dmf(x) est, pour tout x de U, et tout entier m < r, une application multilinéaire continue de Em dans F muni de la topologie Y et que
l'application XI-+ Dmf(x) est continue de U dans Pm(E; F) (F étant
muni de la topologie Y). Alors f est de classe C' lorsque I'on munit
F de la topologie 9 et ses dérivées Dmf sont les mêmes pour Y et
pour 5'.
La condition (S) est en particulier réalisée s'il existe un système fondamental de voisinages de O pour la topologie 9- qui sont fermés pour la
topologie Y': c'est le cas si le dual de F muni de 5 est identique au dual
de F muni de Y'. La condition (S) est également réalisée si F muni
de la topologie 9 est quasi-complet (Esp. Vect. Top., ch. III, 5 2, no 5).
2.6.2. Soit f une application d'un ouvert U de E dans F. Si f est de
classe Cr (avec O d r d CO), les fonctions scalaires u O f sont de classe
C' pour toute forme linéaire continue u sur F. Réciproquement si F
est quasi-complet et si les fonctions u O f sont de classe Cr+' pour tout
u E F', alors f est de classe C'.