VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYïïQUES
Cj 3. Fonctions analytiques réelles ou complexes
Dans ce paragraphe, on suppose que K = R ou C. On désigne par
(E,), 1 G i < n, une famille finie d'espaces normés sur K, par E l'espace
produit des Ei, et par F un espace vectoriel topologique localement
convexe séparé sur K.
3.1. Séries convergentes
3.1.1. Soit f = Cf, une série formelle appartenant à @E,, . . . , En ; F)
(App., no AS). Si ; . est une semi-norme continue sur F et R = (R,, . . . , Rn)
une suite de n nombres réels strictement positifs, on pose:
Si F est un espace normé et si y est la norme de F, on écrit Il f IlR au lieu
de Il f 11 y.RL'ensemble %,(El,. . . , En;F) des f E RE,, . . . , En;F) telles que
Il f I l y , soit fini pour toute semi-norme continue ; . sur F est un sousespace vectoriel de RE,, . . ., En; F). On a
toutes les fois que Ri 2 Rf pour 1 4 i G n. La réunion des
&(El, . . . 7 E n ; F )
est un sous-espace vectoriel noté %(El,. . ., En; F), de RE,, . . . , En; F),
dont les éléments sont appelés séries convergentes sur le produit des Ei,
à valeurs dans F. Il ne dépend que de la topologie des Ei et non de leurs
normes. On peut donc parler de l'espace -%(El,. . . , En; F) lorsque les Ei
sont des espaces normables, sans avoir à choisir une norme sur chaque Ei.
3.1.2. L'application f I+ II f 11 y.R est une semi-norme sur SR(E1, . . . , En; F).
La topologie que définissent ces semi-normes lorsque y décrit l'ensemble
des semi-normes continues sur F (ou simplement un ensemble de seminormes définissant la topologie de F) est séparée. Si F est normable
(resp. complet), il en est de même de ZR(El,. . . , En; F). Les semi-normes
sur %(El,. . ., En; F) dont la restriction à chaque .
#R
est continue
définissent une topologie séparée sur %(El, . . . , En ;F), qui ne dépend que
des topologies des Ei. L'injection de &'( EL, .
. . , En; F) dans @E,, . . . , E, ; F)
est continue.
3.1.3. L'isomorphisme canonique de @E ; F) sur RE,, . . . , En; F) donne
par restriction un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques de
#(E ; F) sur %(El, . . . , En ; F).
Cj 3. Fonctions analytiques réelles ou complexes
Dans ce paragraphe, on suppose que K = R ou C. On désigne par
(E,), 1 G i < n, une famille finie d'espaces normés sur K, par E l'espace
produit des Ei, et par F un espace vectoriel topologique localement
convexe séparé sur K.
3.1. Séries convergentes
3.1.1. Soit f = Cf, une série formelle appartenant à @E,, . . . , En ; F)
(App., no AS). Si ; . est une semi-norme continue sur F et R = (R,, . . . , Rn)
une suite de n nombres réels strictement positifs, on pose:
Si F est un espace normé et si y est la norme de F, on écrit Il f IlR au lieu
de Il f 11 y.RL'ensemble %,(El,. . . , En;F) des f E RE,, . . . , En;F) telles que
Il f I l y , soit fini pour toute semi-norme continue ; . sur F est un sousespace vectoriel de RE,, . . ., En; F). On a
toutes les fois que Ri 2 Rf pour 1 4 i G n. La réunion des
&(El, . . . 7 E n ; F )
est un sous-espace vectoriel noté %(El,. . ., En; F), de RE,, . . . , En; F),
dont les éléments sont appelés séries convergentes sur le produit des Ei,
à valeurs dans F. Il ne dépend que de la topologie des Ei et non de leurs
normes. On peut donc parler de l'espace -%(El,. . . , En; F) lorsque les Ei
sont des espaces normables, sans avoir à choisir une norme sur chaque Ei.
3.1.2. L'application f I+ II f 11 y.R est une semi-norme sur SR(E1, . . . , En; F).
La topologie que définissent ces semi-normes lorsque y décrit l'ensemble
des semi-normes continues sur F (ou simplement un ensemble de seminormes définissant la topologie de F) est séparée. Si F est normable
(resp. complet), il en est de même de ZR(El,. . . , En; F). Les semi-normes
sur %(El,. . ., En; F) dont la restriction à chaque .
#R
est continue
définissent une topologie séparée sur %(El, . . . , En ;F), qui ne dépend que
des topologies des Ei. L'injection de &'( EL, .
. . , En; F) dans @E,, . . . , E, ; F)
est continue.
3.1.3. L'isomorphisme canonique de @E ; F) sur RE,, . . . , En; F) donne
par restriction un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques de
#(E ; F) sur %(El, . . . , En ; F).