3.1.4. Soit f E %(El, . . . , En ; F) et soit J( f ) l'ensemble des R E (R*, )"
tels que f é XR(E1, . . . , E,; F). L'intérieur I( f ) de J( f ) s'appelle i'indicatrice de convergence stricte de f . 11 se compose de l'ensemble des R pour
lesquels il existe un R'E J(f) avec O c Ri < Rf pour 1 < i < n. On
note Sl( f ) l'ensemble des points (log RI,. . . , log Rn) de Rn pour R E I( f ) :
c'est une partie convexe de R".
Lorsque n = 1, l'ensemble I( f ) est un intervalle )O, p( f)( de R et
p(f) s'appelle le rayon de convergence strict de f. C'est aussi la borne
supérieure (finie ou + co) de i'ensemble des nombres réels R > O tels que
pour toute semi-norme continue y sur F, il existe une constante M telle
que Il fm Il, < MR-" (avec f = f,, fm E P,(E ; F)) pour tout entier
m >, O.
L'ensemble des points x = (xi) E El x - . . x En tels qu'il existe R E I( f )
avec ilxill < Ri pour tout i, s'appelle le domaine de convergence strict de
f et se note C( f ). C'est aussi l'intérieur de l'ensemble des points x pour
lesquels il existe R é J(f) avec Ilxill < Ri pour tout i.
3.1.5. Pour f, é Pa(El, . . . , En; F) et pour toute semi-norme continue y
sur F, posons:
I l l f , l l l y =
SUP Ilfa(xi,-~.,~-JIl~Ilxill Q 1
On a alors les inégalités :
Pour f = Cf, E &El, . . . , En; F) et R E (R*,): posons:
111 f Ill y,R = R ~ I I I - ~ ,
III y
a
et désignons par $,(E,,. . . , En; F) le sous-espace vectoriel de
& E ~ , . - - , E ~ ; F )
formé des f tels que Ill f l l l y, , soit fini pour tout y, muni de la topologie
définie par les semi-normes f ++ 111 f llly,,. On a ZR c k, et l'injection de
ZR dans k, est continue. L'espace X(E,, . - . , En ; F) est la réunion des
$,(E,, . . . , E,; F) et sa topologie est la topologie localement convexe la
plus fine qui rende continues les injections des kR dans X
Si .f E %(El, . . . , En ; F), on appelle indicatrice de convergence l'intérieur
T ( f ) de l'ensemble J( f ) des R E (Rf ) tels que f E 2,. On a :
e - ' W
U f C I ( f )
(où e est la base des logarithmes népériens). A partir de P( f ), on définit
comme en 3.1.4. le domaine de convergence C( f ) et, lorsque n = 1, le rayon
de convergence p"( f ). On a en particulier :
e - ' P ( f ) < ~ ( f )
G P(f ).
tels que f é XR(E1, . . . , E,; F). L'intérieur I( f ) de J( f ) s'appelle i'indicatrice de convergence stricte de f . 11 se compose de l'ensemble des R pour
lesquels il existe un R'E J(f) avec O c Ri < Rf pour 1 < i < n. On
note Sl( f ) l'ensemble des points (log RI,. . . , log Rn) de Rn pour R E I( f ) :
c'est une partie convexe de R".
Lorsque n = 1, l'ensemble I( f ) est un intervalle )O, p( f)( de R et
p(f) s'appelle le rayon de convergence strict de f. C'est aussi la borne
supérieure (finie ou + co) de i'ensemble des nombres réels R > O tels que
pour toute semi-norme continue y sur F, il existe une constante M telle
que Il fm Il, < MR-" (avec f = f,, fm E P,(E ; F)) pour tout entier
m >, O.
L'ensemble des points x = (xi) E El x - . . x En tels qu'il existe R E I( f )
avec ilxill < Ri pour tout i, s'appelle le domaine de convergence strict de
f et se note C( f ). C'est aussi l'intérieur de l'ensemble des points x pour
lesquels il existe R é J(f) avec Ilxill < Ri pour tout i.
3.1.5. Pour f, é Pa(El, . . . , En; F) et pour toute semi-norme continue y
sur F, posons:
I l l f , l l l y =
SUP Ilfa(xi,-~.,~-JIl~Ilxill Q 1
On a alors les inégalités :
Pour f = Cf, E &El, . . . , En; F) et R E (R*,): posons:
111 f Ill y,R = R ~ I I I - ~ ,
III y
a
et désignons par $,(E,,. . . , En; F) le sous-espace vectoriel de
& E ~ , . - - , E ~ ; F )
formé des f tels que Ill f l l l y, , soit fini pour tout y, muni de la topologie
définie par les semi-normes f ++ 111 f llly,,. On a ZR c k, et l'injection de
ZR dans k, est continue. L'espace X(E,, . - . , En ; F) est la réunion des
$,(E,, . . . , E,; F) et sa topologie est la topologie localement convexe la
plus fine qui rende continues les injections des kR dans X
Si .f E %(El, . . . , En ; F), on appelle indicatrice de convergence l'intérieur
T ( f ) de l'ensemble J( f ) des R E (Rf ) tels que f E 2,. On a :
e - ' W
U f C I ( f )
(où e est la base des logarithmes népériens). A partir de P( f ), on définit
comme en 3.1.4. le domaine de convergence C( f ) et, lorsque n = 1, le rayon
de convergence p"( f ). On a en particulier :
e - ' P ( f ) < ~ ( f )
G P(f ).