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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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3.1.6. Pour R E (R: )", on appelle polyboule (fermée) de centre O et de rayon
R de E l'ensemble B(R) des x é E -tels que llxill < Ri pour tout i. Si
dim Ei = 1, on dit aussi polydisque. Si f E %(El, . . . . , En; F), le domaine
de convergence (resp. strict) de f est la réunion des polyboules B(R) pour
R E l( f ) (resp. R E I( f )).
3.1.7. Soit f E .&'(El, . . . , En ; F). Supposons F quusi-complet. Pour tout
x E c( f ), la famille des f,(x) est sommable dans F. Sa somme, notée f(x)
ou simplement f (x), est une fonction continue sur e ( f ). Plus précisément,
pour tout R tel que f é kR, la famille des f,(x) est uniformément sommable
pour x E B(R). L'application f -3 est une application linéaire continue
injective de gR dans l'espace des fonctions continues bornées sur B(R),
muni de la topologie de la convergence uniforme.
3.1.8. Soient FI,. . ., Fm des espaces polynormés séparés et soit u une
application m-linéaire continue de F, x . - - x Fm dans F. Soient
1;- E .&'(El, . . . , En ;Fi) pour 1 ,< i ,< m. La série formelle u( f, , . . . , fm)
appartient à *(El, . . . , En ;F). On a :
et si x e n C(1;-), F et les Fi étant quasi-complets, on a :
1
3.1.9. Soient F,, . . . , Fm des espaces normés complets et supposons
F quasi-complet. Soient f =
avec A é & '
(
E l
,
. . . , En; Fi) et
g G *(FI, . . . , Fm ; F) , tels que (fi (O)), , , , appartienne au domaine de
convergence strict de g. Alors, pour tout a E Nm, la série formelle g, 0 f
appartient à .&'(El, . . . , En; F) et la famille des gaO 'f est sornmable dans
& '
(
E l
,
. . . , En; F) et a fortiori dans RE,, . . . , En; F). Sa somme sera notée
g 0 f.
De manière plus précise, il existe R ~n I(J) et R' E I(g) tels que
llfillR < Ri pour 1 < i < m. Sous ces conditions, la série formelle g, 0 f
appartient à %' ,
( El ,
. . . , En; F), et la famille des g, 0 f est sommable dans
&,(El, . . . , En; F). Enfin, si x é B(R), alors f(x) = (1;-(x)) appartient à
B(Rf) c F, x . . x Fm et on a :
g(f(4) = (g O f) ( 4 .
3.1.10. Supposons que Ei = K pour 1 < i < n. L'espace @K"; F)
s'identifie alors à l'espace des séries formelles à n indéterminées X, , . . . , Xn à
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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3.1.6. Pour R E (R: )", on appelle polyboule (fermée) de centre O et de rayon
R de E l'ensemble B(R) des x é E -tels que llxill < Ri pour tout i. Si
dim Ei = 1, on dit aussi polydisque. Si f E %(El, . . . . , En; F), le domaine
de convergence (resp. strict) de f est la réunion des polyboules B(R) pour
R E l( f ) (resp. R E I( f )).
3.1.7. Soit f E .&'(El, . . . , En ; F). Supposons F quusi-complet. Pour tout
x E c( f ), la famille des f,(x) est sommable dans F. Sa somme, notée f(x)
ou simplement f (x), est une fonction continue sur e ( f ). Plus précisément,
pour tout R tel que f é kR, la famille des f,(x) est uniformément sommable
pour x E B(R). L'application f -3 est une application linéaire continue
injective de gR dans l'espace des fonctions continues bornées sur B(R),
muni de la topologie de la convergence uniforme.
3.1.8. Soient FI,. . ., Fm des espaces polynormés séparés et soit u une
application m-linéaire continue de F, x . - - x Fm dans F. Soient
1;- E .&'(El, . . . , En ;Fi) pour 1 ,< i ,< m. La série formelle u( f, , . . . , fm)
appartient à *(El, . . . , En ;F). On a :
et si x e n C(1;-), F et les Fi étant quasi-complets, on a :
1
3.1.9. Soient F,, . . . , Fm des espaces normés complets et supposons
F quasi-complet. Soient f =
avec A é & '
(
E l
,
. . . , En; Fi) et
g G *(FI, . . . , Fm ; F) , tels que (fi (O)), , , , appartienne au domaine de
convergence strict de g. Alors, pour tout a E Nm, la série formelle g, 0 f
appartient à .&'(El, . . . , En; F) et la famille des gaO 'f est sornmable dans
& '
(
E l
,
. . . , En; F) et a fortiori dans RE,, . . . , En; F). Sa somme sera notée
g 0 f.
De manière plus précise, il existe R ~n I(J) et R' E I(g) tels que
llfillR < Ri pour 1 < i < m. Sous ces conditions, la série formelle g, 0 f
appartient à %' ,
( El ,
. . . , En; F), et la famille des g, 0 f est sommable dans
&,(El, . . . , En; F). Enfin, si x é B(R), alors f(x) = (1;-(x)) appartient à
B(Rf) c F, x . . x Fm et on a :
g(f(4) = (g O f) ( 4 .
3.1.10. Supposons que Ei = K pour 1 < i < n. L'espace @K"; F)
s'identifie alors à l'espace des séries formelles à n indéterminées X, , . . . , Xn à