coefficients dans F et un élément de RK"; F) s'écrit :
f = 1 Xaca avec ca E F.
a
Si R E (R? )" et si y est une serni-norme continue sur F, on a
O n a I(f) = f(f), C(f) = C(f) et, lorsque n = 1, p(f) = P ( f ) .
L'espace X ( K n ; K) des séries convergentes à coefficients dans K se
note aussi K((Xl,. . . , X,)); c'est une sous-algèbre de K[[X,, . . . , X,]].
L'espace X(Kn; F) est un module sur K((X,, . . . , X,)) et si F est de
dimension finie, ce module s'identifie à K((X,, . . . , X,)) @,F.
3.1.11. Soit feX(Kn;Km), représenté par un système de m séries convergentesfj(X,, . . . , X,), à coefficients dans K. Soit de même geX(Km;KP),
représenté par un système de p séries convergentes g,(Y ,, . . . , Y d = C gk,BYb.
L'élément b = g 0 f de &' ( Kn; KP)
(cf. 3.1.9) est représenté par p séries
formelles hk(Xl, . . . , X,), déterminées comme suit : pour a E Nn et BE N",
soit cad le coefficient de Xa dans la série formelle fB = n f !J ; alors la
famille (g,,# ~ ~ , ~ ) ~ ~ ~ m
est sommable dans K et a pour somme le coefficient
de Xa.. dans h,.
3.1.12. Supposons F quasi-complet et soit Êi le complété de E,. Tout
polynôme-continu sur El x
x En à valeurs dans F se prolonge par
continuité en un polynôme-continu sur Ê, x
x Ê, , à valeurs dans F.
On en déduit une bijection j de P(E,>. . . , En ; F) sur @El, . . . , Ê,; F).
Si f E &(El, . . . , En; F), alors j( f ) E %(El, . . . , Ê, ; F) et réciproquement.
Les indicatrices de convergence strictes de f et de j( f ) sont les mêmes.
3.1.13. On suppose que K = R, mais que F est muni d'une structure
d'espace vectoriel complexe compatible avec sa structure d'espace vectoriel
réel. Soit Ec = Ei O, C. Si y E Ef, posons
la borne inférieure étant étendue à toutes les familles finies de couples
(x,, a d E Ei x C telles que y = 1 x, O a,. On obtient ainsi une norme sur
k
l'espace vectoriel complexe Ef ; cette norme prolonge la norme donnée sur
Ei si l'on convient d'identifier x E Ei à x @ 1. Soit h un R-polynômecontinu sur El x - - - x En, à valeurs dans F, et homogène de multidegré
a ; il existe alors un C-polynôme-continu h sur E l x . - - x ER, et un seul,
à valeurs dans F, prolongeant h, et homogène de multidegré a. On a
f = 1 Xaca avec ca E F.
a
Si R E (R? )" et si y est une serni-norme continue sur F, on a
O n a I(f) = f(f), C(f) = C(f) et, lorsque n = 1, p(f) = P ( f ) .
L'espace X ( K n ; K) des séries convergentes à coefficients dans K se
note aussi K((Xl,. . . , X,)); c'est une sous-algèbre de K[[X,, . . . , X,]].
L'espace X(Kn; F) est un module sur K((X,, . . . , X,)) et si F est de
dimension finie, ce module s'identifie à K((X,, . . . , X,)) @,F.
3.1.11. Soit feX(Kn;Km), représenté par un système de m séries convergentesfj(X,, . . . , X,), à coefficients dans K. Soit de même geX(Km;KP),
représenté par un système de p séries convergentes g,(Y ,, . . . , Y d = C gk,BYb.
L'élément b = g 0 f de &' ( Kn; KP)
(cf. 3.1.9) est représenté par p séries
formelles hk(Xl, . . . , X,), déterminées comme suit : pour a E Nn et BE N",
soit cad le coefficient de Xa dans la série formelle fB = n f !J ; alors la
famille (g,,# ~ ~ , ~ ) ~ ~ ~ m
est sommable dans K et a pour somme le coefficient
de Xa.. dans h,.
3.1.12. Supposons F quasi-complet et soit Êi le complété de E,. Tout
polynôme-continu sur El x
x En à valeurs dans F se prolonge par
continuité en un polynôme-continu sur Ê, x
x Ê, , à valeurs dans F.
On en déduit une bijection j de P(E,>. . . , En ; F) sur @El, . . . , Ê,; F).
Si f E &(El, . . . , En; F), alors j( f ) E %(El, . . . , Ê, ; F) et réciproquement.
Les indicatrices de convergence strictes de f et de j( f ) sont les mêmes.
3.1.13. On suppose que K = R, mais que F est muni d'une structure
d'espace vectoriel complexe compatible avec sa structure d'espace vectoriel
réel. Soit Ec = Ei O, C. Si y E Ef, posons
la borne inférieure étant étendue à toutes les familles finies de couples
(x,, a d E Ei x C telles que y = 1 x, O a,. On obtient ainsi une norme sur
k
l'espace vectoriel complexe Ef ; cette norme prolonge la norme donnée sur
Ei si l'on convient d'identifier x E Ei à x @ 1. Soit h un R-polynômecontinu sur El x - - - x En, à valeurs dans F, et homogène de multidegré
a ; il existe alors un C-polynôme-continu h sur E l x . - - x ER, et un seul,
à valeurs dans F, prolongeant h, et homogène de multidegré a. On a