pour toute semi-norme continue y sur l'espace vectoriel complexe F.
Si f = Cf, E &(El, . . . , En ; F), alors f = Cf, E Z(E?, . . . , E,C; F). Les
a
a
séries f et f ont même indicatrice de convergence stricte (et même rayon
de convergence strict lorsque n = 1).
Inversement, supposons K = C. Soient E: et F0 les espaces sur R
obtenus par restriction des scalaires. Si f, E Pa(El , . . . , En ; F), alors
f, E Pa(Ey, . . . , En ; FO). Si f = Cf, E &(El, . . . , En ; F), alors la série formelle
a
f O = 1 f E P(E(~, . . . , E : ; FO) est une série convergente. Les indicatrices
a
de convergence (resp. les indicatrices de convergence strictes) de f et f O
sont identiques et on a f (x) = f '(x) pour tout x E e ( f ) = (7( f O).
33. Fonctions d y t i q u e s
3.2.1. Soient U un ouvert de E et f une application.de U dans F. On
dit que f' est de classe Ca, ou K-analytique (ou simplement analytique) dans
U si, pour tout point a de U, il existe une série convergente f, E X(E ; F)
telle que f (a + x) =fdx) pour tout x dans E assez voisin de zéro. Si
K = R (resp. C), on dit encore que f est analytique réelle (resp. analytique
complexe ou holomorphe). Les applications analytiques de U dans F
forment un sous-espace vectoriel, noté W(U;F), de l'espace de toutes les
applications de U dans F.
Pour a E U, la série formelle J*, est unique : on l'appelle le développement
en série entière de f au point a. Si fa = ( fAa (avec (f& E Pa(E1,. . . , En; F)),
on pose :
a
3.2.2. Si f E Va(U ; F), i'application AT : a - A"f(a) de U dans
est analytique. L'application Au : f c* A"f est une application K-linéaire
de V ( U ;F) dans W(U ; P,(El, . . . , En ;F)). Pour a E U, on a donc, pour
a , j l ~ N " , AE(Ay)(a)€PE(E ,,..., En;P,(El ,..., En;F)). Si x = (xi)eE, on
a donc (AE(A"f)(a)) (x) E Pa(El, . . . , E, ; F) et ((A8(AY)(a))(x))(x) E F. Cet
élément de F est égal à ((a, /J))(Aa'Bf(a))(x). On exprime ceci en écrivant :
A@ 0 AU = ((a, p))Aa
+
".
3.23. Les indicatrices de convergence strictes (et les rayons de convergence
stricts lorsque n = 1) des développements en série entière de f et de A"f
en un même point a de U, sont identiques.
Si f = Cf, E &(El, . . . , En ; F), alors f = Cf, E Z(E?, . . . , E,C; F). Les
a
a
séries f et f ont même indicatrice de convergence stricte (et même rayon
de convergence strict lorsque n = 1).
Inversement, supposons K = C. Soient E: et F0 les espaces sur R
obtenus par restriction des scalaires. Si f, E Pa(El , . . . , En ; F), alors
f, E Pa(Ey, . . . , En ; FO). Si f = Cf, E &(El, . . . , En ; F), alors la série formelle
a
f O = 1 f E P(E(~, . . . , E : ; FO) est une série convergente. Les indicatrices
a
de convergence (resp. les indicatrices de convergence strictes) de f et f O
sont identiques et on a f (x) = f '(x) pour tout x E e ( f ) = (7( f O).
33. Fonctions d y t i q u e s
3.2.1. Soient U un ouvert de E et f une application.de U dans F. On
dit que f' est de classe Ca, ou K-analytique (ou simplement analytique) dans
U si, pour tout point a de U, il existe une série convergente f, E X(E ; F)
telle que f (a + x) =fdx) pour tout x dans E assez voisin de zéro. Si
K = R (resp. C), on dit encore que f est analytique réelle (resp. analytique
complexe ou holomorphe). Les applications analytiques de U dans F
forment un sous-espace vectoriel, noté W(U;F), de l'espace de toutes les
applications de U dans F.
Pour a E U, la série formelle J*, est unique : on l'appelle le développement
en série entière de f au point a. Si fa = ( fAa (avec (f& E Pa(E1,. . . , En; F)),
on pose :
a
3.2.2. Si f E Va(U ; F), i'application AT : a - A"f(a) de U dans
est analytique. L'application Au : f c* A"f est une application K-linéaire
de V ( U ;F) dans W(U ; P,(El, . . . , En ;F)). Pour a E U, on a donc, pour
a , j l ~ N " , AE(Ay)(a)€PE(E ,,..., En;P,(El ,..., En;F)). Si x = (xi)eE, on
a donc (AE(A"f)(a)) (x) E Pa(El, . . . , E, ; F) et ((A8(AY)(a))(x))(x) E F. Cet
élément de F est égal à ((a, /J))(Aa'Bf(a))(x). On exprime ceci en écrivant :
A@ 0 AU = ((a, p))Aa
+
".
3.23. Les indicatrices de convergence strictes (et les rayons de convergence
stricts lorsque n = 1) des développements en série entière de f et de A"f
en un même point a de U, sont identiques.