3.2.4. Soit f E P ( U ; F). Alors f est strictement dérivable et indéfiniment
dérivable dans U (si K = R, f est de classe Cm dans U ) . Les dérivées
itérées de f sont analytiques, et leurs valeurs en un point a sont des applications multilinéaires symétriques. On peut alors introduire la notation
D y pour les dérivées partielles itérées comme au no 2.4.2. On a :
a!A"f(a)(h) = D"f(a) . (h, . . . , h)
quels que soient a E U et h E E, ce qu'on écrit :
a ! A"f = D Y .
3.2.5. Soient U un ouvert de E et J; g deux applications analytiques de
U dans F. Soit a € U . Pour que f et g aient un contact d'ordre 2k en
a, il faut et il s a t que A"f(a) = Aag(a) pour tout a avec l a1 < k. Si f et
g ont un contact d'ordre infini en a, elles sont égales dans un voisinage de
a. L'ensemble des points de U où f et g ont un contact d'ordre infini est
ouvert et fermé.
En particulier, si U est connexe et s'il existe une partie ouverte non vide
de U sur laquelle f et g sont égales, on a f = g (a principe du prolongement analytique »).
3.2.6. Soient U un ouvert de E et f une application analytique de U dans
F. Si la dérivée Df de f est nu!le, f est !ocalement constante.
3.2.7. Supposons F quasi-complet et soit G un espace normé complet.
Soit g une application analytique d'un ouvert U de E dans G et soit f
une application analytique d'un ouvert V de G, contenant g(U), dans F.
L'application composée f 0 g est analytique dans U. Supposons en outre
que O E U et que g(0) = O. Le développement de f O g en série entière en O
s'obtient alors en substituanhdans le développement de f en O, le développement en série entière de g en O (3.1.9).
3.2.8. Soient F I , . . . , Fm des espaces polynormés séparés et u une application multilinéaire continue de F I x - -. x Fm dans F. Soient U un ouvert
de E et f;. E V m ( U ; Fi). La fonction u( f , , . . . , f,) est analytique, et son
développement en série entière en un point a é U est la série u(( fl), , . . . , vm),)
(3.1.8).
3.2.9. O n suppose F quasi-complet. Soit f E .X(E,. . . . , En ; F ) ; la fonction
x - f (x) (3.1.7) est analytique dans l'ouvert C( f ), domaine de convergence
strict de f Si n = 1 et si llall < p( f ) , le rayon de convergence strict du
développement de f en série entière en a est au moins égal à p( f ) - Ilall.
Si p( f ) = + CO, on dit que f est une fonction entière.
dérivable dans U (si K = R, f est de classe Cm dans U ) . Les dérivées
itérées de f sont analytiques, et leurs valeurs en un point a sont des applications multilinéaires symétriques. On peut alors introduire la notation
D y pour les dérivées partielles itérées comme au no 2.4.2. On a :
a!A"f(a)(h) = D"f(a) . (h, . . . , h)
quels que soient a E U et h E E, ce qu'on écrit :
a ! A"f = D Y .
3.2.5. Soient U un ouvert de E et J; g deux applications analytiques de
U dans F. Soit a € U . Pour que f et g aient un contact d'ordre 2k en
a, il faut et il s a t que A"f(a) = Aag(a) pour tout a avec l a1 < k. Si f et
g ont un contact d'ordre infini en a, elles sont égales dans un voisinage de
a. L'ensemble des points de U où f et g ont un contact d'ordre infini est
ouvert et fermé.
En particulier, si U est connexe et s'il existe une partie ouverte non vide
de U sur laquelle f et g sont égales, on a f = g (a principe du prolongement analytique »).
3.2.6. Soient U un ouvert de E et f une application analytique de U dans
F. Si la dérivée Df de f est nu!le, f est !ocalement constante.
3.2.7. Supposons F quasi-complet et soit G un espace normé complet.
Soit g une application analytique d'un ouvert U de E dans G et soit f
une application analytique d'un ouvert V de G, contenant g(U), dans F.
L'application composée f 0 g est analytique dans U. Supposons en outre
que O E U et que g(0) = O. Le développement de f O g en série entière en O
s'obtient alors en substituanhdans le développement de f en O, le développement en série entière de g en O (3.1.9).
3.2.8. Soient F I , . . . , Fm des espaces polynormés séparés et u une application multilinéaire continue de F I x - -. x Fm dans F. Soient U un ouvert
de E et f;. E V m ( U ; Fi). La fonction u( f , , . . . , f,) est analytique, et son
développement en série entière en un point a é U est la série u(( fl), , . . . , vm),)
(3.1.8).
3.2.9. O n suppose F quasi-complet. Soit f E .X(E,. . . . , En ; F ) ; la fonction
x - f (x) (3.1.7) est analytique dans l'ouvert C( f ), domaine de convergence
strict de f Si n = 1 et si llall < p( f ) , le rayon de convergence strict du
développement de f en série entière en a est au moins égal à p( f ) - Ilall.
Si p( f ) = + CO, on dit que f est une fonction entière.