3.2.10. Gardons les hypothèses de 3.2.9. Si K = C, les résultats de 3.2.9
restent exacts si l'on remplace C( f ) par C( f ) et p( f ) par p( f ) (pour
n = 1). Si K = R, la fonction X H f (x) est analytique dans C( f).
3.21 1. Supposons que Ei = K pour 1 < i < n. Soient U un ouvert de
Kn et f E V"(Kn ; F). Si O é U et si fo = 1 Xaca est le développement en
a
série entière de f en O, le développement en série entière de Ayen O s'écrit
(après identification de Pa(Kn ; F) avec F) :
On a en particulier pour 1 < i < n et pour x E C( fo) :
di f (x) = C (ai + 1)xaca+,, .
a
3.3 Fonctions holomorphes
Dans ce no, on suppose que K = C.
3.3.1. On suppose F quasi-complet. Soient U un ouvert de E et f une
application de U dans F. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est holomorphe;
(ii) f est dérivable;
(iii) f est localement bornée et quels que soient a é U et ~ E E ,
la
fonction t H f (a -i- th), définie dans un voisinage ouvert de O dans C, est
holomorphe ;
(iv) f est localement bornée et pour toute forme linéaire continue u sur
F, la fonction u 0 f à valeursdans C est holomorphe;
(v) f est continue et localement bornée et il existe un ensemble total H
du dual de F tel que u 0 f soit holomorphe pour tout u E H.
Lorsque E est de dimension finie (resp. lorsque F est un espace de
Banach), ces conditions sont encore équivalentes aux conditions (iii'), (iv') ou
(v') (resp. (iv') ou (v')) obtenues à partir de (iii), (iv) ou (v) (resp. (iv) ou (v)) en
enlevant l'hypothèse « f est localement bornée P.
3.3.2. Supposons F quasi-complet. Soient U un ouvert de E et (f,) une
suite d'applications holomorphes de U dans F, possédant la propriété
suivante :
(W) Tout point de U possède un voisinage dans lequel la suite (L)
converge uniformément.
Alors la limite f de la suite (f,) est holomorphe, la suite des dérivées
(DL) (a valeurs dans l'espace quasi-complet Y(E;F)) possède la propriété
(W) et Df est la limite de (DL).