3.3.3. Soient U un ouvert de E et f une application holomorphe de U
dans F, supposé quasi-complet. Soit R = (Ri) E ( R : ) " et supposons que la
polyboule B(R) est contenue dans U et que f est bornée sur B(R). On a
alors, pour tout a E Nn et tout x = (xi) E B(R):
Aof(O)(x) -5; ---!: f(e(ûl)xl,. . .,e(8,)xn)e(-a1ûl - - anûn) dû, . . . dû,
(avec e(8) = exp 2xi 8).
Soit de plus y une semi-norme continue sur F et soit M la borne supérieure
de Il f(x)lly pour IlxiJ1 = Ri. On a IIAy(0)(x)lly < M pour tout x E B(R) et
111 Aof(0)111, < MR-". Enfin, le domaine de convergence du développement
en série de f en O contient i'intérieur de la polyboule B(R).
3.3.4. Gardons les hypothéses de 3.3.3 et supposons de plus que Ei = C.
Soit Xac, le développement en série de f en O. On a :
a
1
1
ca = R-' L ---Io f(e(ûl)Rl,. . . ,e(û,,)R,)e(-a,8, - - . - - anon) dû, . . . do,
(« inégalités de Cauchy »). Le domaine de convergence strict de la série
C Xac, contient l'intérieur de B(R).
a
3.3.5. Supposons E de dimension finie et F quasi-complet. Soit f une
application holomorphe de E dans F. II existe alors dans Z ( E ; F) une
série fo et une seule, de rayon de convergence infini (pour toute norme sur E).
telle que f (x) = f,(x) pour tout x E E.
3.3.6. Si f est une application holomorphe de E dans F telle que f ( E )
soit borné, alors la fonction f est constante (a théorème de Liouville fi).
3.3.7. On suppose que E # O. Soit f une application holomorphe d'un
ouvert U de E dans F. Soient a un point de U et y une semi-norme
continue sur F. Pour tout voisinage V de a, contenu dans U, il existe
X E V , x # a, tel que:
Ilf(a)ll, Q llf(x)ll,.
Si de plus F = C et si f n'est pas constante au voisinage de a, on a
If'(a)l < sup 1 f(x)l et l'application f' est ouverte au voisinage de a.
x s v . x ~ a
Enfin. soit B un ouvert borné d'adhérence contenue dans U et soit B' sa
dans F, supposé quasi-complet. Soit R = (Ri) E ( R : ) " et supposons que la
polyboule B(R) est contenue dans U et que f est bornée sur B(R). On a
alors, pour tout a E Nn et tout x = (xi) E B(R):
Aof(O)(x) -5; ---!: f(e(ûl)xl,. . .,e(8,)xn)e(-a1ûl - - anûn) dû, . . . dû,
(avec e(8) = exp 2xi 8).
Soit de plus y une semi-norme continue sur F et soit M la borne supérieure
de Il f(x)lly pour IlxiJ1 = Ri. On a IIAy(0)(x)lly < M pour tout x E B(R) et
111 Aof(0)111, < MR-". Enfin, le domaine de convergence du développement
en série de f en O contient i'intérieur de la polyboule B(R).
3.3.4. Gardons les hypothéses de 3.3.3 et supposons de plus que Ei = C.
Soit Xac, le développement en série de f en O. On a :
a
1
1
ca = R-' L ---Io f(e(ûl)Rl,. . . ,e(û,,)R,)e(-a,8, - - . - - anon) dû, . . . do,
(« inégalités de Cauchy »). Le domaine de convergence strict de la série
C Xac, contient l'intérieur de B(R).
a
3.3.5. Supposons E de dimension finie et F quasi-complet. Soit f une
application holomorphe de E dans F. II existe alors dans Z ( E ; F) une
série fo et une seule, de rayon de convergence infini (pour toute norme sur E).
telle que f (x) = f,(x) pour tout x E E.
3.3.6. Si f est une application holomorphe de E dans F telle que f ( E )
soit borné, alors la fonction f est constante (a théorème de Liouville fi).
3.3.7. On suppose que E # O. Soit f une application holomorphe d'un
ouvert U de E dans F. Soient a un point de U et y une semi-norme
continue sur F. Pour tout voisinage V de a, contenu dans U, il existe
X E V , x # a, tel que:
Ilf(a)ll, Q llf(x)ll,.
Si de plus F = C et si f n'est pas constante au voisinage de a, on a
If'(a)l < sup 1 f(x)l et l'application f' est ouverte au voisinage de a.
x s v . x ~ a
Enfin. soit B un ouvert borné d'adhérence contenue dans U et soit B' sa