frontière. On a :
SUP l f (XII = suq If (XII
xen
XEB
(a principe du maximum D ) .
3.3.8. Supposons E de: dimension finie. Soient U un ouvert de E, S un
sous-espace vectoriel de codimension 2 2 de E et f une application
holomorphe de U n (E - S) dans F. Alors f se prolonge par continuité
en une application holomorphe de U dans F.
3.3.9. Supposons que E = C et soit O < Â < p < +a. Soit f une
application holomorphe de l'ouvert U = (z E ClA < lzl < p} dans F.
11 existe une famille (an( f
et une seule d'éléments de F telle que, pour
tout compact H de U, la famille (a,( f )zn),& soit uniformément sommable
de somme f (z) pour z décrivant H (« développement de Laurent H ) .
Supposons de plus A = O. On appelle ordre de f au point x = O la
borne inférieure (finie ou infinie) de l'ensemble des entiers n tels que
an( f ) # O. S'il existe un voisinage V de O tel que f soit bornée dans
V - (O}, alors f est d'ordre O au point x = O et se prolonge par continuité en une fonction holomorphe sur l'ouvert Izl < p. Soit p un entier
> O; si f est d'ordre - p au point x = O, ondit que O est unpôled'ordre
P d e f :
3.3.10. Supposons que E = C et que F soit normé. Soit f une application
holomorphe du disque unité ouvert U de E dans F, telle que f (O) = O et
soit M = supIlf(z)ll. Onaalors 11 f(z)ll < M.1~1 pourtout Z E U («lemme
zeU
de Schwarz P ) .
3.4. Fonctions analytiques réelles
Supposons que K = R.
3.4.1. Soient U un ouvert de E et f une application de U dans F, supposé quasi-complet.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f est analytique.
(ii) f est de classe Cm et, pour tout a E U, il existe un voisinage V, de
a et un nombre réel M tels que, pour toute semi-norme y continue sur F,
il existe une constante A, telle que l'on ait
Il A x l l < A
pour tout x E V, et tout cr E Nn
3.4.2. Soient U un ouvert de E et f une application de U dans F. Si F
est quasi-complet, et si son dual fort F' est un espace de Baire, alors f est
analytique si et seulement si u 0 f est analytique pour tout u E F'.