8 4. Fonctions analytiques (cas ultramétrique)
Dans ce paragraphe, on suppose que la valeur absolue de K est ultramétrique. On désigne par (EJ,
une famille finie d'espaces normés sur K,
et par E l'espace produit des Ei, muni de la norme:
llxll = sup llxill
si x = (xi).
On désigne par F un espace polynormé séparé sur K.
4.2. Séries convergentes
4.1.1. Soit f = C f a une série formelle appartenant a RE,, . . . , En ;F),
a
(cf. Appendice). Si y estune semi-norme continue sur F, et R = (Ri) est
un systhme de n nombres réels >O, on pose
Les définitions et les résultats du no 3.1.1 (deuxième alinéa) et du no 3.1.2
s'appliquent sans changement ; on définit en particulier les espaces
4.1.2. L'isomorphisme canonique j de RE ; F) sur @E,, . . . , En ; F)
donne, par restriction, un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques
de SR(E;F) sur X ( ,... ,,(El ,..., En;F) pour tout RER*,; il donne
également un isomorphisme .de S ( E ; F) sur % '
( E l
,
. . . , En ; F). Plus
précisément, si f = f, E @E;F) et si j( f ) = fa, on a, pour toute semim
a
norme continue y sur F :
4.1.3. Soit f = 1 fa un élément de &'(El, . . . , En ;F) ; soit I( f ) l'ensemble
a
des R E(R:)" tels que, pour toute semi-norme continue y sur F, le
produit Il Ll l yRa tende vers zéro quand la1 tend vers l'infini. L'ensemble
I(f) est non vide; on l'appelle l'indicatrice de convergence stricte de f.
L'ensemble Q( f ) des points
(logR,, ..., logRn) pour ReI(f)
est une partie convexe de Rn.
Lorsque n = 1, l'ensemble I(f) est un intervalle de R, ouvert à