gauche et ouvert ou fermé à droite ; sa borne supérieure (finie ou + co) se
note p( f ) et s'appelle le rayon de convergence strict de f .
Avec les notations de 4.1.2, on a R E I( f ) si et seulement si
(R, . . . , R) E W ( f )).
L'ensemble des points x = (xi) tels qu'il existe R = (RI) E I(f) avec
llxill < Ri pour 1 < i < n s'appelle le domaine de convergence strict de
f e.t se note C( f). C'est un ouvert de E, réunion des polyboules
B(R) = {x E E 1 IlxilJ < Ri pour 1 ,< i < n),
pour R E I( f ).
4.1.4. Les résultats de 3.1.7 et 3.1.8 restent exacts, en y remplaçant partout
C(f) par C(f) et 2R par XR.
4.1.5. Soient FI, . . . , Fm des espaces normés complets et supposons F
quasi-complet. Soit f = (fi),
avec fi E *(El, . . . , En ;Fi) et soit
g E #(FI, . . . ,Fm ; F), tels que le point (f;:(O)), si,, de E appartienne au
domaine de convergence strict de g. Alors, pour tout a € N m , la série
formelle ga 0 f appartient à &'(El, . . . , En ;F) et la famille des ga 0 f est
sommable dans % '
(
E l
,
. . . , En ;F) (donc a fortiori dans & E ~ ,
. . . , En ;F)).
Sa somme sera notée g 0 f.
De manière plus précise, il existe R E n~(f;.) et R' E I(g) tels que
I
sup Ilfi,,llRa < Ri (pour 1 < i < m). Sous ces conditions la série formelle
la12 0
g, 0 f appartient à %' ,(El, . . . , En ;F) et la famille des ga 0 f est sommable
dans &',(El, . . . , En ;F). Enfin, si x E B(R), alors f(x) = (fi(x)) appartient
à C(g) et on a :
g(f(4) = (g O f) (XI.
Supposons de plus que, pour chaque i, il existe une famille (ej) d'éléments de Ei tel que tout élément x de Ei soit somme d'une famille sommable (Aj ej) (avec
K) telle que llxll = sup ]Ail. On peut alors dans
l'alinéa précédent, remplacer la condition sup lifi,.ll Ra < Ri par la condi14>0
4.1.6. Supposons que Ei = K pour 1 < i < n. L'espace P(K"; F) s'identifie alors à l'espace des séries formelles à n indéterminées XI, . . . , Xn à coefficients dans F et un élément f de P(K";F) s'écrit:
f = C Xaca avec c, E F.
a
Si R E (R:)" et si y est une semi-norme continue sur F, on a :
note p( f ) et s'appelle le rayon de convergence strict de f .
Avec les notations de 4.1.2, on a R E I( f ) si et seulement si
(R, . . . , R) E W ( f )).
L'ensemble des points x = (xi) tels qu'il existe R = (RI) E I(f) avec
llxill < Ri pour 1 < i < n s'appelle le domaine de convergence strict de
f e.t se note C( f). C'est un ouvert de E, réunion des polyboules
B(R) = {x E E 1 IlxilJ < Ri pour 1 ,< i < n),
pour R E I( f ).
4.1.4. Les résultats de 3.1.7 et 3.1.8 restent exacts, en y remplaçant partout
C(f) par C(f) et 2R par XR.
4.1.5. Soient FI, . . . , Fm des espaces normés complets et supposons F
quasi-complet. Soit f = (fi),
avec fi E *(El, . . . , En ;Fi) et soit
g E #(FI, . . . ,Fm ; F), tels que le point (f;:(O)), si,, de E appartienne au
domaine de convergence strict de g. Alors, pour tout a € N m , la série
formelle ga 0 f appartient à &'(El, . . . , En ;F) et la famille des ga 0 f est
sommable dans % '
(
E l
,
. . . , En ;F) (donc a fortiori dans & E ~ ,
. . . , En ;F)).
Sa somme sera notée g 0 f.
De manière plus précise, il existe R E n~(f;.) et R' E I(g) tels que
I
sup Ilfi,,llRa < Ri (pour 1 < i < m). Sous ces conditions la série formelle
la12 0
g, 0 f appartient à %' ,(El, . . . , En ;F) et la famille des ga 0 f est sommable
dans &',(El, . . . , En ;F). Enfin, si x E B(R), alors f(x) = (fi(x)) appartient
à C(g) et on a :
g(f(4) = (g O f) (XI.
Supposons de plus que, pour chaque i, il existe une famille (ej) d'éléments de Ei tel que tout élément x de Ei soit somme d'une famille sommable (Aj ej) (avec
K) telle que llxll = sup ]Ail. On peut alors dans
l'alinéa précédent, remplacer la condition sup lifi,.ll Ra < Ri par la condi14>0
4.1.6. Supposons que Ei = K pour 1 < i < n. L'espace P(K"; F) s'identifie alors à l'espace des séries formelles à n indéterminées XI, . . . , Xn à coefficients dans F et un élément f de P(K";F) s'écrit:
f = C Xaca avec c, E F.
a
Si R E (R:)" et si y est une semi-norme continue sur F, on a :