Le dernier alinéa de 3.1.10 reste valable, ainsi que 3.1.1 1.
4.1.7. Supposons que K soit un sous-corps fermé d'un corps valué complet
(nécessairement ultramétrique) L. Pour y E Ei OKL, posons:
la borne inférieure étant étendue à toutes les familles finies de couples
(x,, a,)€ Ei x L telles que y = 1 xk @ a,. On obtient ainsi une norme
k
sur le L-espace vectoriel Ei @,L, qui induit sur Ei la norme donnée. On
désigne par EF le complété de Ei @,L pour cette norme.
Soit maintenant F un L-espace vectoriel polynormé séparé complet.
Pour tout K-polynome-continu f,, homogène de multidegré a, sur
E, x - - x En, à valeurs dans le K-espace vectoriel polynormé FK sousjacent à F, il existe un L-polynome-continu
et un seul, homogène de
même multidegré, sur Ef x - . . x Ek, a valeurs dans F qui prolonge fa.
Pour toute semi-norme continue sur le L-espace vectoriel F, on a
Si f = C ~ , E % ( E
,,... ,En;F,), alors f = C x f , ~ ~ ( ~ f ;
,..., E ~ ; F ) .
Les séries f e t 7 ont même indicatrice de convergence stricte (et même
rayon de convergence strict lorsque n = 1).
Inversement, soit L un sous-corps fermé non discret de K et soient
EP et F0 les espaces sur L obtenus par restriction des scalaires à partir
des E, et de F. Si f = 2 f, ~i%?' (E, , . . . , En ; F), alors fa€ P,(EY, . . . , E: ; FO) ;
il
si l'on pose f O = f, E P(E;, . . . , Et ;FO), alors f O E S ( E 7 , . . . , En;FO).
a
O n a C ( f ) c C ( f O ) et f ( x ) = fO(x) pourtout x - E C ( ~ ) .
4.2. Fonctions analytiques
4.2.1. Les définitions et résultats de 3.2.1 et 3.2.2 restent valables sans
changements.
4.2.2. Avec les notations de 3.2.2, l'indicatrice de convergence stricte du
développement en série entière de Aaf en un point a de U contient celle du
développement en série entière de f en a.
4.2.3. Les résultats de 3.24, 3.2.5, 3.2.7. 3.2.8 et 3.2.1 1 restent exacts. Celui
de 3.2.6 aussi, à condition de supposer en plus que K est de caractéristique
&ru.
4.1.7. Supposons que K soit un sous-corps fermé d'un corps valué complet
(nécessairement ultramétrique) L. Pour y E Ei OKL, posons:
la borne inférieure étant étendue à toutes les familles finies de couples
(x,, a,)€ Ei x L telles que y = 1 xk @ a,. On obtient ainsi une norme
k
sur le L-espace vectoriel Ei @,L, qui induit sur Ei la norme donnée. On
désigne par EF le complété de Ei @,L pour cette norme.
Soit maintenant F un L-espace vectoriel polynormé séparé complet.
Pour tout K-polynome-continu f,, homogène de multidegré a, sur
E, x - - x En, à valeurs dans le K-espace vectoriel polynormé FK sousjacent à F, il existe un L-polynome-continu
et un seul, homogène de
même multidegré, sur Ef x - . . x Ek, a valeurs dans F qui prolonge fa.
Pour toute semi-norme continue sur le L-espace vectoriel F, on a
Si f = C ~ , E % ( E
,,... ,En;F,), alors f = C x f , ~ ~ ( ~ f ;
,..., E ~ ; F ) .
Les séries f e t 7 ont même indicatrice de convergence stricte (et même
rayon de convergence strict lorsque n = 1).
Inversement, soit L un sous-corps fermé non discret de K et soient
EP et F0 les espaces sur L obtenus par restriction des scalaires à partir
des E, et de F. Si f = 2 f, ~i%?' (E, , . . . , En ; F), alors fa€ P,(EY, . . . , E: ; FO) ;
il
si l'on pose f O = f, E P(E;, . . . , Et ;FO), alors f O E S ( E 7 , . . . , En;FO).
a
O n a C ( f ) c C ( f O ) et f ( x ) = fO(x) pourtout x - E C ( ~ ) .
4.2. Fonctions analytiques
4.2.1. Les définitions et résultats de 3.2.1 et 3.2.2 restent valables sans
changements.
4.2.2. Avec les notations de 3.2.2, l'indicatrice de convergence stricte du
développement en série entière de Aaf en un point a de U contient celle du
développement en série entière de f en a.
4.2.3. Les résultats de 3.24, 3.2.5, 3.2.7. 3.2.8 et 3.2.1 1 restent exacts. Celui
de 3.2.6 aussi, à condition de supposer en plus que K est de caractéristique
&ru.