4.2.4. Supposons F quasi-complet et soit f e %' (El , .
. . , En; F). La fonction x - f (x) est analytique dans C( f ). Pour tout a E C( f ), l'indicatrice
de convergence du développement en série entière de f en a est égale à
celle de f .
4.3. Quelques inégalités
4.3.1. On suppose que K satisfait à l'une au moins des conditions suivantes :
(a) le corps résiduel de K est infini ;
(b) l'image de K par l'application a- la( est dense dans R,. (Autrement dit, on suppose que K n'est pas localement compact).
Soit f = 1 f c ~ % ( E l , ..., En;F) et soit ReI(f). O n a :
a
~ U P Il f (x) H y = SUP SUP. Il h(x) Il
xsB(R)
" xsB(R)
pour toute semi-norme continue y sur F (« inégalités de Cauchy »).
4.3.2. Il existe une constante a > O telle que pour tout polynôme homogène
continu f, E Pc(El, . . . , En; F) et tout R E (R:)", l'on ait :
pour toute semi-norme continue y sur F. Si K satisfait à la condition (b)
de 4.3.1 ou si l'image de E i par l'application x- llxll est contenue dans
l'image de K par l'application a-la1 et contient Ri (pour 1 G i < n),
on peut prendre a = 1.
4.3.3. Si K est de caractéristique zéro, la série formelle f = C fa appartient
a
a .#'(El,. . . , E,;F) si et seulement si il existe R E ( R : ) " tel que
pour toute semi-norme continue y sur F.