5 5. Variétés
5.1. Cartes et atlas. Variétés
5.1.1. Soit X un ensemble. On appelle carte de X un triplet c = (U, cp, E),
où U est une partie de X, E un espace de Banach et cp une bijection de
U sur un ouvert de E. On dit que U est le domaine de la carte c. Si E
est de dimension finie n, on dit que c est de dimension n. Sinon, on pose
d i m c = +m.
5.1.2. On dit que deux cartes c = (U, cp, E) et cf = (U', cp' , E') de X sont
C'-compatibles (ou simplement compatibles lorsqu'il ne peut y avoir
d'ambiguité sur r) lorsque les conditions suivantes sont réalisées :
(a) cp(U n U') (resp. cpf(U n U')) est ouvert dans E (resp. E' ) ;
(b) l'application cp O 9'- ' (resp. cp'o cp- ') de cp' (U n Ur) sur cp(U n U')
(resp. de cp(U n U') sur cpf(U n Ur) ) est de classe Cr (cf. 2.3.1, 3.2.1 et
4.2.1).
5.1.3. On appelle C'-atlas (ou simplement atlas) d'un ensemble X un
ensemble de cartes de X deux à deux C'-compatibles et dont les domaines
ont pour réunion X tout entier. Deux atlas d et 9? de X sont dits
C'-équivalents si d u B est un atlas. La relation de C'-équivalence entre
atlas est une relation d'équivalence.
5.1.4. Soit G un ensemble d'espaces de Banach. On dit qu'un atlas d
est de type 6 si l'on a E E G pour toute carte c = (U, cp, E) de d . D'une
manière analogue, on dit qu'un atlas d est de type hilbertien (resp. de
type hilbertien de dimension dénombrable) si E est un espace hilbertien
(resp. hilbertien de type dénombrable) pour toute carte (U, cp, E) de d.
5.1.5. On appelle K-variété de classe C' (ou variété de classe C' sur K,
ou simplement variété lorsque il ne peut y avoir d'ambiguité sur K et r) un
ensemble X muni d'une classe d'atlas équivalents (Ens., chap. II, 4 6, no 9)
pour la relation de C'-équivalence. Un atlas de cette classe est appelé un
atlas de la variété X. Une carte appartenant à un atlas de X est appelée
une carte de la variété X. Une carte de X dont le domaine contient un
point a E X est appelée une carte de X en a. Une carte centrée en a est
une carte (U, cp, E) de X en a telle que cp(a) = 0.
Si X est un ensemble et d un atlas de X, l'ensemble X muni de la
classe d'équivalence de d est appelé la variété définie par d.
Lorsque r Z o (donc K = R), une variété de classe C' est parfois
appelée une variété diflbentielle. Une variété de classe C" est encore
appelée une variété analytique sur K (ou encore variété K-analytique).
5.1. Cartes et atlas. Variétés
5.1.1. Soit X un ensemble. On appelle carte de X un triplet c = (U, cp, E),
où U est une partie de X, E un espace de Banach et cp une bijection de
U sur un ouvert de E. On dit que U est le domaine de la carte c. Si E
est de dimension finie n, on dit que c est de dimension n. Sinon, on pose
d i m c = +m.
5.1.2. On dit que deux cartes c = (U, cp, E) et cf = (U', cp' , E') de X sont
C'-compatibles (ou simplement compatibles lorsqu'il ne peut y avoir
d'ambiguité sur r) lorsque les conditions suivantes sont réalisées :
(a) cp(U n U') (resp. cpf(U n U')) est ouvert dans E (resp. E' ) ;
(b) l'application cp O 9'- ' (resp. cp'o cp- ') de cp' (U n Ur) sur cp(U n U')
(resp. de cp(U n U') sur cpf(U n Ur) ) est de classe Cr (cf. 2.3.1, 3.2.1 et
4.2.1).
5.1.3. On appelle C'-atlas (ou simplement atlas) d'un ensemble X un
ensemble de cartes de X deux à deux C'-compatibles et dont les domaines
ont pour réunion X tout entier. Deux atlas d et 9? de X sont dits
C'-équivalents si d u B est un atlas. La relation de C'-équivalence entre
atlas est une relation d'équivalence.
5.1.4. Soit G un ensemble d'espaces de Banach. On dit qu'un atlas d
est de type 6 si l'on a E E G pour toute carte c = (U, cp, E) de d . D'une
manière analogue, on dit qu'un atlas d est de type hilbertien (resp. de
type hilbertien de dimension dénombrable) si E est un espace hilbertien
(resp. hilbertien de type dénombrable) pour toute carte (U, cp, E) de d.
5.1.5. On appelle K-variété de classe C' (ou variété de classe C' sur K,
ou simplement variété lorsque il ne peut y avoir d'ambiguité sur K et r) un
ensemble X muni d'une classe d'atlas équivalents (Ens., chap. II, 4 6, no 9)
pour la relation de C'-équivalence. Un atlas de cette classe est appelé un
atlas de la variété X. Une carte appartenant à un atlas de X est appelée
une carte de la variété X. Une carte de X dont le domaine contient un
point a E X est appelée une carte de X en a. Une carte centrée en a est
une carte (U, cp, E) de X en a telle que cp(a) = 0.
Si X est un ensemble et d un atlas de X, l'ensemble X muni de la
classe d'équivalence de d est appelé la variété définie par d.
Lorsque r Z o (donc K = R), une variété de classe C' est parfois
appelée une variété diflbentielle. Une variété de classe C" est encore
appelée une variété analytique sur K (ou encore variété K-analytique).