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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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Lorsque de plus K = R (resp. C, Q,), on dit encore variété analytique
réelle (resp. analytique complexe, analytique p-adique).
5.1.6. Soit X une variété. Les parties de X qui sont réunions de domaines
de cartes de X forment l'ensenîble des ouverts pour une topologie sur X,
dite sous-jacente à la structure de variété'de X. Pour toute carte c = (U, q, E)
de X, l'application cp est un homéomorphisme de l'ouvert U muni de la
topologie induite par celle de X sur l'ouvert cp(U) de E.
L'espace topologique sous-jacent à X est un espace de Baire. Lorsque
K est égal à R ou C, il est localement connexe.
Soit X une variété et soit d un atlas de X. Pour que l'espace topologique X soit séparé, il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite :
quelles que soient les cartes (U, cp, E) et (V, $, F) appartenant à l'atlas
.d, le graphe de l'application $ O cp- ' de q(U n V) dans $(U n V) est
fermé dans cp(U) x $(V).
Soit X une variété; supposons que l'espace topologique X soit régulier.
Alors pour tout point a E X, il existe une carte (U, cp, E) de X en a possédant la propriété suivante : pour qu'une partie Y de U soit fermée dans
X, il faut et il suffit que son image q(Y) soit fermée dans E. Si l'espace X
est paracompact, il existe sur X une distance compatible avec la topologie
de X et faisant de X un espace métrique complet.
5.1.7. Soit G un ensemble d'espaces de Banach. On dit qu'une variété
est de type 6 (resp. de type hilbertien, resp. de type hilbertien de dimension
dénombrable) si elle possède un atlas de type G (resp. de type hilbertien, resp.
de type hilbertien de dimension dénombrable). Si 6 est réduit à un seul
élément E, une variété de type G est encore appelée une variété pure de
type E.
On appelle variété pure de dimension n une variété pure de type K".
On dit qu'une variété est localement de dimensionfinie si elle est de type G
avec 6 = ( K n ; n e N ] .
5.1.8. Soit X une variété et soit x E X. La dimension (finie ou + co) d'une
carte de X en x ne dépend que de x. On l'appelle dimension de X en x
et on la note dim,X. On appelle dimension de X et on note dim X la
borne supérieure des dim, X pour x E X.
La fonction x w dim, X est localement constante. La variété X est
localement de dimension finie (resp. pure de dimension n) si et seulement si
on a dim, X < + co (resp. dim, X = n) pour tout x E X.
5.1.9. Supposons K localement compact. Soit X une variété séparée. Alors,
pour que X soit localement de dimension finie, il faut et il suffit que X soit
localement compacte.
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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Lorsque de plus K = R (resp. C, Q,), on dit encore variété analytique
réelle (resp. analytique complexe, analytique p-adique).
5.1.6. Soit X une variété. Les parties de X qui sont réunions de domaines
de cartes de X forment l'ensenîble des ouverts pour une topologie sur X,
dite sous-jacente à la structure de variété'de X. Pour toute carte c = (U, q, E)
de X, l'application cp est un homéomorphisme de l'ouvert U muni de la
topologie induite par celle de X sur l'ouvert cp(U) de E.
L'espace topologique sous-jacent à X est un espace de Baire. Lorsque
K est égal à R ou C, il est localement connexe.
Soit X une variété et soit d un atlas de X. Pour que l'espace topologique X soit séparé, il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite :
quelles que soient les cartes (U, cp, E) et (V, $, F) appartenant à l'atlas
.d, le graphe de l'application $ O cp- ' de q(U n V) dans $(U n V) est
fermé dans cp(U) x $(V).
Soit X une variété; supposons que l'espace topologique X soit régulier.
Alors pour tout point a E X, il existe une carte (U, cp, E) de X en a possédant la propriété suivante : pour qu'une partie Y de U soit fermée dans
X, il faut et il suffit que son image q(Y) soit fermée dans E. Si l'espace X
est paracompact, il existe sur X une distance compatible avec la topologie
de X et faisant de X un espace métrique complet.
5.1.7. Soit G un ensemble d'espaces de Banach. On dit qu'une variété
est de type 6 (resp. de type hilbertien, resp. de type hilbertien de dimension
dénombrable) si elle possède un atlas de type G (resp. de type hilbertien, resp.
de type hilbertien de dimension dénombrable). Si 6 est réduit à un seul
élément E, une variété de type G est encore appelée une variété pure de
type E.
On appelle variété pure de dimension n une variété pure de type K".
On dit qu'une variété est localement de dimensionfinie si elle est de type G
avec 6 = ( K n ; n e N ] .
5.1.8. Soit X une variété et soit x E X. La dimension (finie ou + co) d'une
carte de X en x ne dépend que de x. On l'appelle dimension de X en x
et on la note dim,X. On appelle dimension de X et on note dim X la
borne supérieure des dim, X pour x E X.
La fonction x w dim, X est localement constante. La variété X est
localement de dimension finie (resp. pure de dimension n) si et seulement si
on a dim, X < + co (resp. dim, X = n) pour tout x E X.
5.1.9. Supposons K localement compact. Soit X une variété séparée. Alors,
pour que X soit localement de dimension finie, il faut et il suffit que X soit
localement compacte.