5.1.10. Soit X une variété et soient tl, . . . ,y des applications d'une
partie U de X dans K. On dit que 5 = (t', . . ., y) est un système de
coordonnées de X dans U si le triplet (U, 5, Kn) est une carte de X ;
cette carte se note aussi (U ; t;) ou (U; El, . . . , y). Si a E U, on dit aussi
que 5 est un sysrgme de coordonnées de X en a ; si de plus c(a) = O
pour i = 1,2, . . . , n, on dit que le système de coordonnées 5 est centré en a.
5.2. Exemples de variétés
5.2.1. Soit X un ensemble ; il existe sur X une structure de variété et une
seule pour laquelle l'espace topologique sous-jacent soit discret; cette
structure est une structure de variété pure de dimension O.
5.2.2. Soit E un espace de Banach. Le triplet c = (E, Id,, E) est une carte
de E et d = ( c ) est un atlas de E, donc définit une structure de variété
pure de type E sur E ; la topologie sous-jacente est la topologie donnée sur
E. Lorsque l'on parlera par la suite de la structure de variété sur E, ce sera
toujours à la structure précédente que l'on se référera.
En particulier, ceci s'applique à tout espace vectoriel de dimension finie
sur K, muni de l'unique topologie séparée compatible avec sa structure
vectorielle (Esp. Vect. Top., chap. 1, $2, no 3).
5.2.3. Soient X une variété et U une partie ouverte de X. Il existe sur U
une structure de variété dont les cartes sont les cartes de la variété X de
domaine contenu dans U. Cette structure est dite induite par celle de X
(cf. no 5.3.4); muni de cette structure, U s'appelle une sous-variété ouverte
de X.
En particulier, tout ouvert d'un espace de Banach E est muni d'une
structure canonique de variété pure de type E. Soit X une variété ; pour
qu'un triplet (U, q, E) soit une carte de X, il faut et suiTit que U soit ouvert
dans X et que cp soit un isomorphisme de la sous-variété ouverte U de X
sur une sous-variété ouverte de E.
5.2.4. Soient X un ensemble, et (Xi),, un recouvrement de X. On suppose
donnée sur chaque Xi une structure de variété telle que la condition suivante
soit remplie :
Quels que soient i et j dans 1, l'ensemble Xi n Xj est ouvert dans
X i et Xj et les structures de variétés induites sur Xi n Xj par celles de
Xi et Xj coincident.
Il existe alors sur X une structure de varié:é et une seule telle que Xi
soit une sous-variété ouverte de X pour tout i dans 1. On dit que la
variété X s'obtient par recolbment des variétés Xi.
5.2.5. Soit X une variété. L'ensemble X, des points x de X tels que
partie U de X dans K. On dit que 5 = (t', . . ., y) est un système de
coordonnées de X dans U si le triplet (U, 5, Kn) est une carte de X ;
cette carte se note aussi (U ; t;) ou (U; El, . . . , y). Si a E U, on dit aussi
que 5 est un sysrgme de coordonnées de X en a ; si de plus c(a) = O
pour i = 1,2, . . . , n, on dit que le système de coordonnées 5 est centré en a.
5.2. Exemples de variétés
5.2.1. Soit X un ensemble ; il existe sur X une structure de variété et une
seule pour laquelle l'espace topologique sous-jacent soit discret; cette
structure est une structure de variété pure de dimension O.
5.2.2. Soit E un espace de Banach. Le triplet c = (E, Id,, E) est une carte
de E et d = ( c ) est un atlas de E, donc définit une structure de variété
pure de type E sur E ; la topologie sous-jacente est la topologie donnée sur
E. Lorsque l'on parlera par la suite de la structure de variété sur E, ce sera
toujours à la structure précédente que l'on se référera.
En particulier, ceci s'applique à tout espace vectoriel de dimension finie
sur K, muni de l'unique topologie séparée compatible avec sa structure
vectorielle (Esp. Vect. Top., chap. 1, $2, no 3).
5.2.3. Soient X une variété et U une partie ouverte de X. Il existe sur U
une structure de variété dont les cartes sont les cartes de la variété X de
domaine contenu dans U. Cette structure est dite induite par celle de X
(cf. no 5.3.4); muni de cette structure, U s'appelle une sous-variété ouverte
de X.
En particulier, tout ouvert d'un espace de Banach E est muni d'une
structure canonique de variété pure de type E. Soit X une variété ; pour
qu'un triplet (U, q, E) soit une carte de X, il faut et suiTit que U soit ouvert
dans X et que cp soit un isomorphisme de la sous-variété ouverte U de X
sur une sous-variété ouverte de E.
5.2.4. Soient X un ensemble, et (Xi),, un recouvrement de X. On suppose
donnée sur chaque Xi une structure de variété telle que la condition suivante
soit remplie :
Quels que soient i et j dans 1, l'ensemble Xi n Xj est ouvert dans
X i et Xj et les structures de variétés induites sur Xi n Xj par celles de
Xi et Xj coincident.
Il existe alors sur X une structure de varié:é et une seule telle que Xi
soit une sous-variété ouverte de X pour tout i dans 1. On dit que la
variété X s'obtient par recolbment des variétés Xi.
5.2.5. Soit X une variété. L'ensemble X, des points x de X tels que