APPENDICE
Polynôme~continus et séries formelles
Dans cet Appendice, on désigne par F un espace polynormé séparé sur K, par Ei
(pour 1 < i < n) un espace normé sur K et par E l'espace vectoriel topolaique
produit des Ei.
Pour a E Nn, et 1 < j < ]al, on pose :
(la suite des a(j) s'obtient donc en écrivant a, fois 1,. . . , a, fois n).
On désigne par Eu I'espace vectoriel topologique produit de la famille des E, , ,
pour 1 9 j < lai. On désigne par Hom, (El,. . . , En; F) l'espace des applications
la[-multilinéaires de Eu dans F et par 9,(E,, . . . , En; F) le sousespace de
Hom&,, . . . , En ;F) formé des applications multilinéaires continues muni de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de E,; c'est un espace polynormé séparé, dont la topologie peut être définie par la famille de semi-normes
llu/lv
où, pour une semi-norme y continue sur F, on note llullv la borne inférieure des nombres a 3 O tels que
où chaque xj parcourt Eacn.
On désigne par pi la projection canonique de E sur Ei. Pour a é N" avec
a # O, on note pu l'application x ~ @ , ( ~ , ( x ) )
de E dans E,.
A.1. Une application f de E dans F est appelée un polynôme multihomogène de
multidegré a (avec a E N") sur E à valeurs dans F s'il existe un élément
A.2. On désigne par Pa(El, . . . , En ; F) l'image de Y',(E,, . . . , En; F) par l'application
linéaire u - u O p. de Homu(E,, . . . , E, ; F) dans I'espace des applications de E dans
F, munie de la topologie quotient de celle de Yu(E,, . . . , En; F). Un élément de
Pa(El, . . . , E,; F) est appelé un polynôme-continu multihomogène de multidegré a sur
E à valeurs dans F. La topologie de Pu(E,, . . . , E, ; F) est définie par la famille de
semi-normes :
llf Ily =
inf
Ilully
UÉ~P.(EI ...., E,:F).f = u - p P
pour y décrivant l'ensemble des semi-normes continues sur F. Si F est un espace
normé, de norme y, on écrit Il f II au lieu de Il f 11, . L'espace P,(E,, . . . , En ; F) et sa
topologie ne changent pas si l'on substitue aux normes données sur chaque Ei des
normes équivalentes. On peut donc les définir lorsque les Ei sont des espaces vectoriels
topologiques normables.
En particulier, un élément de P,(E ; F) est appelé un polynôme-continu homogène de
degré total k sur E à valeurs dans F. L'espace P,(E; F) est somme directe topologique des espaces Pa(E,, . . . , En; F) pour la1 = k. L'espace P,(E; F) est I'espace des
applications constantes de E dans F et on l'identifie à F.
A.3. On désigne par P(E; F) ou P(El, . . . , En; F) le sous-espace vectoriel de I'espace
vectoriel de toutes les applications de E dans F engendré par les sous-espaces P,(E; F).
Polynôme~continus et séries formelles
Dans cet Appendice, on désigne par F un espace polynormé séparé sur K, par Ei
(pour 1 < i < n) un espace normé sur K et par E l'espace vectoriel topolaique
produit des Ei.
Pour a E Nn, et 1 < j < ]al, on pose :
(la suite des a(j) s'obtient donc en écrivant a, fois 1,. . . , a, fois n).
On désigne par Eu I'espace vectoriel topologique produit de la famille des E, , ,
pour 1 9 j < lai. On désigne par Hom, (El,. . . , En; F) l'espace des applications
la[-multilinéaires de Eu dans F et par 9,(E,, . . . , En; F) le sousespace de
Hom&,, . . . , En ;F) formé des applications multilinéaires continues muni de la topologie de la convergence uniforme sur les parties bornées de E,; c'est un espace polynormé séparé, dont la topologie peut être définie par la famille de semi-normes
llu/lv
où, pour une semi-norme y continue sur F, on note llullv la borne inférieure des nombres a 3 O tels que
où chaque xj parcourt Eacn.
On désigne par pi la projection canonique de E sur Ei. Pour a é N" avec
a # O, on note pu l'application x ~ @ , ( ~ , ( x ) )
de E dans E,.
A.1. Une application f de E dans F est appelée un polynôme multihomogène de
multidegré a (avec a E N") sur E à valeurs dans F s'il existe un élément
A.2. On désigne par Pa(El, . . . , En ; F) l'image de Y',(E,, . . . , En; F) par l'application
linéaire u - u O p. de Homu(E,, . . . , E, ; F) dans I'espace des applications de E dans
F, munie de la topologie quotient de celle de Yu(E,, . . . , En; F). Un élément de
Pa(El, . . . , E,; F) est appelé un polynôme-continu multihomogène de multidegré a sur
E à valeurs dans F. La topologie de Pu(E,, . . . , E, ; F) est définie par la famille de
semi-normes :
llf Ily =
inf
Ilully
UÉ~P.(EI ...., E,:F).f = u - p P
pour y décrivant l'ensemble des semi-normes continues sur F. Si F est un espace
normé, de norme y, on écrit Il f II au lieu de Il f 11, . L'espace P,(E,, . . . , En ; F) et sa
topologie ne changent pas si l'on substitue aux normes données sur chaque Ei des
normes équivalentes. On peut donc les définir lorsque les Ei sont des espaces vectoriels
topologiques normables.
En particulier, un élément de P,(E ; F) est appelé un polynôme-continu homogène de
degré total k sur E à valeurs dans F. L'espace P,(E; F) est somme directe topologique des espaces Pa(E,, . . . , En; F) pour la1 = k. L'espace P,(E; F) est I'espace des
applications constantes de E dans F et on l'identifie à F.
A.3. On désigne par P(E; F) ou P(El, . . . , En; F) le sous-espace vectoriel de I'espace
vectoriel de toutes les applications de E dans F engendré par les sous-espaces P,(E; F).