no A.6
APPENDICE
89
11 est somme directe des sousespaces P,(E,, . . . , En ; F) pour a E N", et aussi des sousespaces P,(E; F) pour k E N. Un élément de P(E ; F) est appelé un polynôme-continu
sur E a valeurs dans F.
A.4. Soient G j des espaces normés (pour 1 j am). Soient f , s P(E1, . . . , En ; G,)
(pour 1 < j m) et soit g E P(G,, . . . , G, ; F). L'application
appartient à P(E,, . . . , En ; F). Si de plus fj G PdE,, . . . , En ; Gj) pour 1 6 j a m
(avec u G Nn) et g E PB(G,, . . . , G, ; F), (avec P G N"), on a h E PI,qn(El,. . . , En; F)
et
pour toute semi-norme continue y sur F (en posant Il f IlB = n Ilf,llsj).
I S j S m
AS. On désigne par @E,, . . . , En; F) l'espace vectoriel produit des P,(E,,. . .;En; F)
pour a E Nn, muni de la topologie produit des topologies discrètes sur chacun des
facteurs. Cette topologie fait de P(E,, . . . , En ; F) un groupe topologique séparé et
complet. L'application linéaire de P(E,, . . . , En ; F) dans P(E,, . . . , En ; F) prolongeant
^s injections canoniques des P,(E,, . . . , En; F) est injective et son image est dense dans
P(El, . . . , En; F): on identifie en général un polynôme-continu sur E à valeurs dans
F avec son image dans FE,, . . . , En ; F).
L'application identique de P(E,, . . . , E,; F) = P(E; F) se prolonge par continuité
en un isomorphisme de RE,, . . . , En; F) sur R E ; F).
Un élément .de @E,, . . . , En ; F) est appelé une série formelle à composantes continues
(ou par abus de langage une série formelle) sur le produit des Ei à valeurs dans F.
A.6. Soient G j (pour 1 j
m) des espaces normés et soit g E P(G,, . . . , G,; F).
L'application f - g O f de fl P(E,, . . . , En; Gj) dans P(E,, . . . , En; F) se prolonge
1 < j S m
par continuité en une application (notée encore f - g 0 f ) de fl @(E~, -. . , E,,; Gj)
1 S j S m
dans P(E,, . . . , E,; F).
Soient l; = (f,.,) , , , , E P(E,, . . . , En ;Gj), ayec f,., = O. Posons f = (fj): I'application g +-+ g 0 f de P(Gl, . . . , G,; F) dans P(E,, . . . , En ; F) se prolonge par continuité en une application (notée encore g* g 0 f ) de P(Gl, . . . , G, ; F) dans
W I , . . . , E n ; F ) .
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11 est somme directe des sousespaces P,(E,, . . . , En ; F) pour a E N", et aussi des sousespaces P,(E; F) pour k E N. Un élément de P(E ; F) est appelé un polynôme-continu
sur E a valeurs dans F.
A.4. Soient G j des espaces normés (pour 1 j am). Soient f , s P(E1, . . . , En ; G,)
(pour 1 < j m) et soit g E P(G,, . . . , G, ; F). L'application
appartient à P(E,, . . . , En ; F). Si de plus fj G PdE,, . . . , En ; Gj) pour 1 6 j a m
(avec u G Nn) et g E PB(G,, . . . , G, ; F), (avec P G N"), on a h E PI,qn(El,. . . , En; F)
et
pour toute semi-norme continue y sur F (en posant Il f IlB = n Ilf,llsj).
I S j S m
AS. On désigne par @E,, . . . , En; F) l'espace vectoriel produit des P,(E,,. . .;En; F)
pour a E Nn, muni de la topologie produit des topologies discrètes sur chacun des
facteurs. Cette topologie fait de P(E,, . . . , En ; F) un groupe topologique séparé et
complet. L'application linéaire de P(E,, . . . , En ; F) dans P(E,, . . . , En ; F) prolongeant
^s injections canoniques des P,(E,, . . . , En; F) est injective et son image est dense dans
P(El, . . . , En; F): on identifie en général un polynôme-continu sur E à valeurs dans
F avec son image dans FE,, . . . , En ; F).
L'application identique de P(E,, . . . , E,; F) = P(E; F) se prolonge par continuité
en un isomorphisme de RE,, . . . , En; F) sur R E ; F).
Un élément .de @E,, . . . , En ; F) est appelé une série formelle à composantes continues
(ou par abus de langage une série formelle) sur le produit des Ei à valeurs dans F.
A.6. Soient G j (pour 1 j
m) des espaces normés et soit g E P(G,, . . . , G,; F).
L'application f - g O f de fl P(E,, . . . , En; Gj) dans P(E,, . . . , En; F) se prolonge
1 < j S m
par continuité en une application (notée encore f - g 0 f ) de fl @(E~, -. . , E,,; Gj)
1 S j S m
dans P(E,, . . . , E,; F).
Soient l; = (f,.,) , , , , E P(E,, . . . , En ;Gj), ayec f,., = O. Posons f = (fj): I'application g +-+ g 0 f de P(Gl, . . . , G,; F) dans P(E,, . . . , En ; F) se prolonge par continuité en une application (notée encore g* g 0 f ) de P(Gl, . . . , G, ; F) dans
W I , . . . , E n ; F ) .