(b, u ) ~
b de P dans B. Le quadruplet  = (P, GL(F), B, np) (où GYF)
est muni de sa structure canonique de variété de groupe (5.12.2)) est une
fibration principale (6.2.1) : on l'appelle lafibrution des repères de M. L'application ((b, u), h) w u(h) de P x F dans M munit M d'une structure de
fibré associé à A, defibre type F (6.5.1).
Lorsque F = Kn, on peut identifier un isomorphisme u de F sur
M, à la base de M, image par u de la base canonique de Kn. L'espace
fibré des repères de M s'identifie alors à la sous-variété ouverte de
M x , . . . x , M formée des bases (e,, . . . , e,) des différentes fibres M,.
Soit U un ouvert de B et soit t = (U, cp, E) une carte vectorielle de
M de domaine U, avec E = F. L'application bw(b, t,) est alors une
section de P, notée 2, et l'application t w 2 est une bijection de l'ensemble
des cartes vectorielles de M de la forme (U, (p, F) sur l'ensemble des
sections de P sur U.
7.10.2. Réciproquement, soit A = (Q, G, B, nQ) une fibration principale et
soit cp un homomorphisme de variétés de groupe de G dans le groupe
GYF) des automorphismes d'un espace de Banach F. Faisons opérer
G à gauche sur F en posant g . h = cp(g)(h) (h E F, g E G). Soit M un
espace fibré associé à A, de fibre type F, et soit p : Q x F -+ M son
application repère (6.5.1). Soit n l'application de M dans B définie par
Soit s une section de Q sur un ouvert U de B ; l'application
S : (b, h) w (s(b), h)
est alors une bijection de U x F sur n-'(U). Il existe sur le couple (My n)
une structure defibré vectoriel de base B et une seule pour laquelle les triplets
t, = (U, S-', F) sont des cartes vectorielles (pour toute section s de Q).
La structure de variété sous-jacente a cette structure est celle de l'espace
fibré associé à A. .
Soit q E Q ; posons b = aQ(q) et soit u I'isomorphisme de F sur M,
défini par u(h) = p(q, h) (pour h E F). L'application f : q w (b, u) est un
B-morphisme de fibrations principales, compatible avec cp, de (Q, G, B,nQ)
dans le fibré des repères (P, GL(F), B, q . ) du fibré vectoriel M.
7.10.3. Reprenons les notations du no 7.6. Pour tout i E 1, soit
une fibration principale de base B et supposons que Gi opère à gauche
sur un espace de Banach Vi au moyen d'un homomorphisme
Soit M i un espace fibré associé à Âi de fibre type Vi. Posons A = (Mi),,,
b de P dans B. Le quadruplet  = (P, GL(F), B, np) (où GYF)
est muni de sa structure canonique de variété de groupe (5.12.2)) est une
fibration principale (6.2.1) : on l'appelle lafibrution des repères de M. L'application ((b, u), h) w u(h) de P x F dans M munit M d'une structure de
fibré associé à A, defibre type F (6.5.1).
Lorsque F = Kn, on peut identifier un isomorphisme u de F sur
M, à la base de M, image par u de la base canonique de Kn. L'espace
fibré des repères de M s'identifie alors à la sous-variété ouverte de
M x , . . . x , M formée des bases (e,, . . . , e,) des différentes fibres M,.
Soit U un ouvert de B et soit t = (U, cp, E) une carte vectorielle de
M de domaine U, avec E = F. L'application bw(b, t,) est alors une
section de P, notée 2, et l'application t w 2 est une bijection de l'ensemble
des cartes vectorielles de M de la forme (U, (p, F) sur l'ensemble des
sections de P sur U.
7.10.2. Réciproquement, soit A = (Q, G, B, nQ) une fibration principale et
soit cp un homomorphisme de variétés de groupe de G dans le groupe
GYF) des automorphismes d'un espace de Banach F. Faisons opérer
G à gauche sur F en posant g . h = cp(g)(h) (h E F, g E G). Soit M un
espace fibré associé à A, de fibre type F, et soit p : Q x F -+ M son
application repère (6.5.1). Soit n l'application de M dans B définie par
Soit s une section de Q sur un ouvert U de B ; l'application
S : (b, h) w (s(b), h)
est alors une bijection de U x F sur n-'(U). Il existe sur le couple (My n)
une structure defibré vectoriel de base B et une seule pour laquelle les triplets
t, = (U, S-', F) sont des cartes vectorielles (pour toute section s de Q).
La structure de variété sous-jacente a cette structure est celle de l'espace
fibré associé à A. .
Soit q E Q ; posons b = aQ(q) et soit u I'isomorphisme de F sur M,
défini par u(h) = p(q, h) (pour h E F). L'application f : q w (b, u) est un
B-morphisme de fibrations principales, compatible avec cp, de (Q, G, B,nQ)
dans le fibré des repères (P, GL(F), B, q . ) du fibré vectoriel M.
7.10.3. Reprenons les notations du no 7.6. Pour tout i E 1, soit
une fibration principale de base B et supposons que Gi opère à gauche
sur un espace de Banach Vi au moyen d'un homomorphisme
Soit M i un espace fibré associé à Âi de fibre type Vi. Posons A = (Mi),,,