appelé encore contraction des indices i et j. On définit de même la contraction des indices il,. . . , i , de 1 avec les indices j,, . . . , j, de J.
7.9.7. Soit d un entier >O; soient V et V' deux espaces vectoriels de
dimension finie sur L et f E Hom,(V, V'); posons Ad(V) = E ( V ) et
Ad( f ) = Ad( f ). On définit ainsi un foncteur vectoriel sur L en dimension
finie et, si M est un fibré vectoriel, on note Ad(M) et on appelle puissance
extérieure d-ème de M (sur L) le fibré vectoriel Ad(M).
L'application canonique de @' v sur Ad(V) définit un morphisme de
foncteurs vectoriels, d'où un morphisme, dit canonique, de @"M dans
Ad(M). Ce morphisme est surjectg
Les isomorphismes canoniques de l'espace des applications d-multilinéaires alternées sur I'espace l\d(V*) OU sur (Ad(V))* fournissent des
isomorphismes, dits canoniques, du fibré vectoriel Alr'(M ;L) des applications d-multilinéaires alternées sur L, sur le fibré vectoriel fl(M*) OU sur
( f l ( M ) ) * .
7.9.8. Posons maintenant A(V) = A(V) et A( f ) = A ( f ) ; on définit encore
ainsi un foncteur vectoriel sur L en dimension finie. Le fibré vectoriel A(M)
se note A(M). Sa fibre /\(M), en b E B est l'algèbre extérieure (sur L) de
la fibre M,. Le fibré vectoriel A(M) est un fibré vectoriel en algèbres localement trivial.
Les définitions et propriétés des produits intérieurs données en Alg., chap.
III, 3' éd., tj 10 s'étendent immédiatement aux sections des fibrés vectoriels
A(M) et A(M*) (cf. aussi,les formules (1) à (7) des no 7.8.2 à 7.8.4).
7.9.9. Soit M un fibré vectoriel. Pour tout entier n, soit B, I'ensemble
(ouvert) des points b E B tels que la dimension (sur L) de M, soit égale à
n. Pour b~ B,, posons Nb = F ( M , ) et soit N l'ensemble somme des
Nb pour b E B. Il existe sur N une structure de fibré vectoriel et une seule
telle que l'application évidente de NIB, dans An(M)IBn soit un isomorphisme pour tout n. Muni de cette structure, le fibré vectoriel N de rang un
en chaque point se note det(M).
7.10. Fibrés vectoriels et fibrés principaux
7.10.1. Soit F un espace de Banach. On dit qu'un fibré vectoriel M de
base B est pur de type F si toutes les fibres M, de M (pour b E B) sont
isomorphes (comme espaces de Banach) à F.
Soit M un fibré vectoriel de base B pur de type F et soit P la sousvariété ouverte du fibré vectoriel 9 ( F B ; M) composée des couples (b, u)
où b~ B et où u est un isomorphisme de F, = F sur M,. Le groupe
GL(F) des automorphismes de F opère à droite sur P en posant
(b, u) . g = (b, u 0 g) pour (b, U) E P et g E GL(F). Notons n, l'application
7.9.7. Soit d un entier >O; soient V et V' deux espaces vectoriels de
dimension finie sur L et f E Hom,(V, V'); posons Ad(V) = E ( V ) et
Ad( f ) = Ad( f ). On définit ainsi un foncteur vectoriel sur L en dimension
finie et, si M est un fibré vectoriel, on note Ad(M) et on appelle puissance
extérieure d-ème de M (sur L) le fibré vectoriel Ad(M).
L'application canonique de @' v sur Ad(V) définit un morphisme de
foncteurs vectoriels, d'où un morphisme, dit canonique, de @"M dans
Ad(M). Ce morphisme est surjectg
Les isomorphismes canoniques de l'espace des applications d-multilinéaires alternées sur I'espace l\d(V*) OU sur (Ad(V))* fournissent des
isomorphismes, dits canoniques, du fibré vectoriel Alr'(M ;L) des applications d-multilinéaires alternées sur L, sur le fibré vectoriel fl(M*) OU sur
( f l ( M ) ) * .
7.9.8. Posons maintenant A(V) = A(V) et A( f ) = A ( f ) ; on définit encore
ainsi un foncteur vectoriel sur L en dimension finie. Le fibré vectoriel A(M)
se note A(M). Sa fibre /\(M), en b E B est l'algèbre extérieure (sur L) de
la fibre M,. Le fibré vectoriel A(M) est un fibré vectoriel en algèbres localement trivial.
Les définitions et propriétés des produits intérieurs données en Alg., chap.
III, 3' éd., tj 10 s'étendent immédiatement aux sections des fibrés vectoriels
A(M) et A(M*) (cf. aussi,les formules (1) à (7) des no 7.8.2 à 7.8.4).
7.9.9. Soit M un fibré vectoriel. Pour tout entier n, soit B, I'ensemble
(ouvert) des points b E B tels que la dimension (sur L) de M, soit égale à
n. Pour b~ B,, posons Nb = F ( M , ) et soit N l'ensemble somme des
Nb pour b E B. Il existe sur N une structure de fibré vectoriel et une seule
telle que l'application évidente de NIB, dans An(M)IBn soit un isomorphisme pour tout n. Muni de cette structure, le fibré vectoriel N de rang un
en chaque point se note det(M).
7.10. Fibrés vectoriels et fibrés principaux
7.10.1. Soit F un espace de Banach. On dit qu'un fibré vectoriel M de
base B est pur de type F si toutes les fibres M, de M (pour b E B) sont
isomorphes (comme espaces de Banach) à F.
Soit M un fibré vectoriel de base B pur de type F et soit P la sousvariété ouverte du fibré vectoriel 9 ( F B ; M) composée des couples (b, u)
où b~ B et où u est un isomorphisme de F, = F sur M,. Le groupe
GL(F) des automorphismes de F opère à droite sur P en posant
(b, u) . g = (b, u 0 g) pour (b, U) E P et g E GL(F). Notons n, l'application