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VARIÉTÉS DIF~RENTIELLES ET ANALYTIQUES
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sion $nie et si A! = (Mi),, est une famille de fibrés vectoriels, on désigne
par @ Mi et on appelle produit tensoriel (sur L) des Mi le fibré vectoriel
K I
4 4 .
Si si est une section de Mi sur l'ouvert U de B (pour i E 1), l'application b HO si(b) est une section de @ Mi, notée @ si. L'application
icl
i d
i d
(si),,, H @ si est muitilinéaire sur l'anneau V(U ; L).
isl
7.9.2. Les isomorphismes canoniques définis dans Alg., chap. II fournissent
des isomorphismes de foncteurs vectoriels. Il en résulte d'après 7.6.4 des
isomorphismes de fibrés vectoriels. Par exemple, on a des isomorphismes
canoniques :
etc.
7.9.3. Soit M un fibré vectoriel et soient 1 et J deux ensembles finis
disjoints. Le fibré tensoriel T:(M) est défini comme le produit tensoriel
@ M a , où Ma = M si ~ € 1 ,
et Ma = M* si U E J, M* désignant le
a ~ 1 u J
dual de M (A, III, p. 63). La fibre T:(M), de ce fibré en un point b est
égale à l'espace tensoriel T;(M,) défini en Alg., loc. cit. Lorsque 1 = { 1, . . . p )
e t J = { p + 1, . . . , p + q),onécritT~(M)aulieudeT~(M);ona
La donnée d'un ordre total sur 1 et sur J définit un isomorphisme canonique
de T\(M) sur T;(M).
7.9.4. Si 1 (resp. J) est réunion de deux sous-ensembles disjoints 1' 'et 1"
(resp. J' et J"), T:(M) s'identifie canoniquement au produit tensoriel
Tj:(M) O Tj::(M). En particulier, si s' (resp. s") est une section de T::(M)
(resp. de T&(M)), le produit tensoriel s' @ s" s'identifie à une section de
T:(W
7.9.5. Le dual de T:(M) s'identifie à Ti(M).
7.9.6. Soient i E 1 et j é J. Pour tout b E B, I'homomorphisme de contraction des indices i et j est défini (cf. Alg., loc. cit.); c'est un homomorphisme
(c;), : Tj(M,) -+ T:1i:(Mb).
La collection des (cj), définit un morphisme
d'espaces fibrés vectoriels
C; : T;(M) -+ T; 1 [~I(M),