sections de A. Un élément o de Q1(U) s'identifie à un U-morphisme de
MIU dans A(U (7.7.3) : si s E YM(U), nous noterons (o, s) la section
w(s) de A (7.4.2). Soient sj E 9 h ( U ) et oj E Q1(U) (pour 1 < j < 6);
on a :
(2)
o(sl, . . . , s,) = det((oi, si))
pour w = o, A . . . A wd.
7.8.4. Soit d 2 1. Il existe un accouplement i de M x, AIP(M ; A) dans
Ahd-'(M; A) dont la restriction à chaque fibre est donnée par le produit
intérieur droit (cf. A, III, p. 156). Si s est une section de M sur rouvert U
et si o E Od(U), on note i(s)o la section i(s, w) de Ahd-l(M ; A) sur U ;
on pose i(s)w = O pour w dans QO(U).
On associe ainsi à toute section s de M sur U un endomorphisme
du T(U)-module S1*(U). On a le formulaire :
(5) i(s)w = (O, s>
pour o E Q1(U)
(6) i(s) . (w A w') = i(s)w A w' + (- 1)"o i(s)ml pour w E P ( u )
Dans la dernière formule, les oi sont dans Q1(U) et le signe indique
que le symbole qu'il surmonte doit être omis.
Toutes les opérations décrites ci-dessus sur les sections sont multilinéaires
sur l'anneau gr(U ; K).
7.8.5. Soit L une algèbre de Banach sur K. Les définitions et résultats des
no 7.7 et 7.8 s'étendent au cas des fibrés vectoriels sur L : on définit de manière
analogue les fibrés d'applications L-multilinéaires ou L-multilinéaires alternées.
7.9. Produits tensoriels, espaces tensoriels, algèbre extérieure
On garde les notations de 7.6. De plus, on désigne par L un corps commutatif muni d'une structure de K-algèbre de dimension finie et on appelle
fibré vectoriel un fibré vectoriel sur L, de base B et de rang localement
fini.
7.9.1. Supposons que 1- = 0. Si Y et Y-' sont deux familles indexées
par 1 d'espaces vectoriels de dimension finie sur L, on désigne par ,z(V)
le produit tensoriel des V i pour i E 1 (A, II, p. 71) et si f E Hom (-Y, Y'),
on pose z(f) = Of; On définit ainsi un foncteur vectoriel sur L en dimen6*-B.