foncteur vectoriel ord en désignant par ad(P ) l'espace de Banach des applications d-linéaires continues alternées de Vf dans Vo et en posant
ad(f)(u) = fo 0 u Q f d, pour u E O L , ( ~ ) .
Le fibré vectoriel ad((Ml, Mo)) se note
Altd(M,; Mo) et s'appelle le fibré vectoriel des applications d-linéaires
alternées de Ml dans Mo.
L'injection canonique de Altd(Ml ; Mo) dans Y(M ,, . . . , Ml ; Mo)
est un morphisme de fibrés vectoriels ; Altd(M, ; Mo) est un sous-fibré
vectoriel de 94"(M1, . . ., M, ; Mo).
On a AItl(M1 ; Mo) = 9 ( M 1 ; Mo). On pose AltO(M, ; Mo) = Mo.
Si o est une section ' de AItd(M, ; Mo) et si s,, . . . , s, sont des sections de M ,, il existe une section et une seule de Mo, notée o(sl, . . . , s,),
telle que
w(sl, . . . , sd)(b) = o(b)(s1(b), . . . , sdb)) pour tout b E B.
7.8.2 Soit cp un accouplement de N x, N' dans N" (cf. no 7.3.1) ; pour
chaque b, on a une application bilinéaire cp, de Nb x Nb dans N b qui
définit (cf. A, III, p. 142) une application bilinéaire de
dans Altd+e(M ; N"),. La collection de ces applications bilinéaires définit
un accouplement u de
Alt"(M ; N ) x, Alte(M ; N')
dans Ah?+e(M;N"); si O et of sont respectivement des sections de
Alt"(M;N) et AP(M;Nf) sur un ouvert U, la section u(o, w') de
Altd+'(M ; N ) sur U sera notée o A, 0', et appelée le produit extérieur
de o et o ' . -
On a la formule :
où les si sont des sections de M sur U, et où la sommation est étendue aux
permutations o de {1,5 . . . , d + e ) telles que
o(1) c . - - < o(d) et o(d + 1) < . - < o(d + e).
7.8.3. Soient M un fibré vectoriel et A un fibré en algèbres, de base B.
Supposons que les fibres A, de A soient des algèbres associatives et commutatives, possédant un élément unité, noté e,. Pour tout ouvert U de
B, nous noterons @(U) le Vr(U)-module formé des sections du fibré
Altd(M;A) et R*(U) la somme directe des @(U) pour d 2 O. Les
multiplications sur chaque fibre définissent un accouplement de A x ,A
dans A, d'où (7.8.2) une structure dlalgèbre graduée sur R*(U), qui est
associative et anticommutative. La sous-algèbre QO(U) est l'algèbre des
' Lc lecteur aura soin de ne pas confondre cet emploi de la lettre o avec celui défini p. 10.
ad(f)(u) = fo 0 u Q f d, pour u E O L , ( ~ ) .
Le fibré vectoriel ad((Ml, Mo)) se note
Altd(M,; Mo) et s'appelle le fibré vectoriel des applications d-linéaires
alternées de Ml dans Mo.
L'injection canonique de Altd(Ml ; Mo) dans Y(M ,, . . . , Ml ; Mo)
est un morphisme de fibrés vectoriels ; Altd(M, ; Mo) est un sous-fibré
vectoriel de 94"(M1, . . ., M, ; Mo).
On a AItl(M1 ; Mo) = 9 ( M 1 ; Mo). On pose AltO(M, ; Mo) = Mo.
Si o est une section ' de AItd(M, ; Mo) et si s,, . . . , s, sont des sections de M ,, il existe une section et une seule de Mo, notée o(sl, . . . , s,),
telle que
w(sl, . . . , sd)(b) = o(b)(s1(b), . . . , sdb)) pour tout b E B.
7.8.2 Soit cp un accouplement de N x, N' dans N" (cf. no 7.3.1) ; pour
chaque b, on a une application bilinéaire cp, de Nb x Nb dans N b qui
définit (cf. A, III, p. 142) une application bilinéaire de
dans Altd+e(M ; N"),. La collection de ces applications bilinéaires définit
un accouplement u de
Alt"(M ; N ) x, Alte(M ; N')
dans Ah?+e(M;N"); si O et of sont respectivement des sections de
Alt"(M;N) et AP(M;Nf) sur un ouvert U, la section u(o, w') de
Altd+'(M ; N ) sur U sera notée o A, 0', et appelée le produit extérieur
de o et o ' . -
On a la formule :
où les si sont des sections de M sur U, et où la sommation est étendue aux
permutations o de {1,5 . . . , d + e ) telles que
o(1) c . - - < o(d) et o(d + 1) < . - < o(d + e).
7.8.3. Soient M un fibré vectoriel et A un fibré en algèbres, de base B.
Supposons que les fibres A, de A soient des algèbres associatives et commutatives, possédant un élément unité, noté e,. Pour tout ouvert U de
B, nous noterons @(U) le Vr(U)-module formé des sections du fibré
Altd(M;A) et R*(U) la somme directe des @(U) pour d 2 O. Les
multiplications sur chaque fibre définissent un accouplement de A x ,A
dans A, d'où (7.8.2) une structure dlalgèbre graduée sur R*(U), qui est
associative et anticommutative. La sous-algèbre QO(U) est l'algèbre des
' Lc lecteur aura soin de ne pas confondre cet emploi de la lettre o avec celui défini p. 10.