ensemble fini et soit A" = (N~),,, une famille de fibrés vectoriels de base B'.
L'application u -. @pr,o u 0 ji)(h,ik, est une bijection de l'ensemble des
iEl
f-morphismes de @ M i dans @ Nh sur l'ensemble des matrices
LI
h el
( u ~ , ~ ) ( ~ , ~ , ~ ~ ~ ~ ,
où u ~ , ~
est unfmorphisme de M' dans N ~ .
Si 1 = il, 21, la suite
o - , M ~ , . ~ M ~ ~ M ~ P = ~ M ~ , o
est exacte directe.
Inversement, soit M un fibré vectoriel de base B et soit M' un sousfibré vectoriel de M. Supposons que la variété B soit paracompacte et que
l'une des deux conditions suivantes soit satisfaite :
(i) K est différent de R ou C;
(ii) K = R, r # w et la variété B admet des partitions de l'unité de
classe C' (5.3.6).
Il existe alors un sous-fibré vectoriel M" de M tel que M s'identifie a
la somme directe M' @ MW.
7.7.2. Supposons que 1 + = (O] et que 1- = (1,2,. . . , d). On définit un foncteur vectoriel qd de type 1 et de classe C' en posant ?,(Y-) = Y ( V , , . . . , V , ; V,)
et qd(f)(u) = fo 0 u O ( f i x . - - x fd) pour u E q d ( Y ) . Si J i ' =
est une
famille de fibrés vectoriels de base B, le fibre vectoriel ?,(A') se note
a M 1 , * . ., Md; Mo).
Soit u un morphisme multilinéaire de M l x, - -. x, Md dans Mo.
L'application û : b - u, est alors une section de 9 ( M 1 , . . . , M d ; Mo) et
I'application u ++ û est bijective.
7.7.3. Gardons les notations de 7.7.2 et supposons de plus que d = 1. Le
fibré vectoriel 9 ( M l ; Mo) s'appelle alors le$bré des homomorphismes de
M l dans Mo. Ses sections correspondent aux B-morphismes de M l dans
M o . .
Si de plus Mo est le fibré trivial KB, le fibré vectoriel Y ( M , ; K , )
s'appelle le dual de M = M l et se note M ' : la fibre (M'), est l'espace des
formes linéaires continues sur la fibre M , de M au point b E B.
Si s (resp. t ) est une section de M (resp. M') sur un ouvert U de B,
l'application b - (b, (s(b), t(b))) est une section, notée (s, t ) du fibré
trivial K,. '
7.8. Fibrés d'applications multilinéaires alternées
Dans les nos 7.8.1 à 7.8.5, on suppose que K est de caractéristique O ou
que lesftbrés vectoriels considérés sont de rangfini. On ignore si la définition
du foncteur a, donnée dans 7.8.1 peut se faire sans aucune restriction.
7.8.1. Prenons 1 + = (O), 1 - = (1) et soit d un entier 2 1. On définit un
' Lorsque M est de rang fini, on écrit M* au lieu de M'.
6 - B .
L'application u -. @pr,o u 0 ji)(h,ik, est une bijection de l'ensemble des
iEl
f-morphismes de @ M i dans @ Nh sur l'ensemble des matrices
LI
h el
( u ~ , ~ ) ( ~ , ~ , ~ ~ ~ ~ ,
où u ~ , ~
est unfmorphisme de M' dans N ~ .
Si 1 = il, 21, la suite
o - , M ~ , . ~ M ~ ~ M ~ P = ~ M ~ , o
est exacte directe.
Inversement, soit M un fibré vectoriel de base B et soit M' un sousfibré vectoriel de M. Supposons que la variété B soit paracompacte et que
l'une des deux conditions suivantes soit satisfaite :
(i) K est différent de R ou C;
(ii) K = R, r # w et la variété B admet des partitions de l'unité de
classe C' (5.3.6).
Il existe alors un sous-fibré vectoriel M" de M tel que M s'identifie a
la somme directe M' @ MW.
7.7.2. Supposons que 1 + = (O] et que 1- = (1,2,. . . , d). On définit un foncteur vectoriel qd de type 1 et de classe C' en posant ?,(Y-) = Y ( V , , . . . , V , ; V,)
et qd(f)(u) = fo 0 u O ( f i x . - - x fd) pour u E q d ( Y ) . Si J i ' =
est une
famille de fibrés vectoriels de base B, le fibre vectoriel ?,(A') se note
a M 1 , * . ., Md; Mo).
Soit u un morphisme multilinéaire de M l x, - -. x, Md dans Mo.
L'application û : b - u, est alors une section de 9 ( M 1 , . . . , M d ; Mo) et
I'application u ++ û est bijective.
7.7.3. Gardons les notations de 7.7.2 et supposons de plus que d = 1. Le
fibré vectoriel 9 ( M l ; Mo) s'appelle alors le$bré des homomorphismes de
M l dans Mo. Ses sections correspondent aux B-morphismes de M l dans
M o . .
Si de plus Mo est le fibré trivial KB, le fibré vectoriel Y ( M , ; K , )
s'appelle le dual de M = M l et se note M ' : la fibre (M'), est l'espace des
formes linéaires continues sur la fibre M , de M au point b E B.
Si s (resp. t ) est une section de M (resp. M') sur un ouvert U de B,
l'application b - (b, (s(b), t(b))) est une section, notée (s, t ) du fibré
trivial K,. '
7.8. Fibrés d'applications multilinéaires alternées
Dans les nos 7.8.1 à 7.8.5, on suppose que K est de caractéristique O ou
que lesftbrés vectoriels considérés sont de rangfini. On ignore si la définition
du foncteur a, donnée dans 7.8.1 peut se faire sans aucune restriction.
7.8.1. Prenons 1 + = (O), 1 - = (1) et soit d un entier 2 1. On définit un
' Lorsque M est de rang fini, on écrit M* au lieu de M'.
6 - B .