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VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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7.6.5. Les définitions et résultats des n 0 V 6 2 a 7.6.4 s'étendent au cas des
foncteurs vectoriels en dimension finie, a condition de supposer partout
les fibrés vectoriels donnés de rang fini.
Ils s'étendent également au cas suivant: soit L un corps muni d'une
structure de K-algèbre de dimension finie; on prend pour z un foncteur
vectoriel sur L (i.e. satisfaisant aux hypothèses de 7.6.1 où l'on a remplacé
K par L), et on ne considère que des fibrés vectoriels sur L au sens
de 7.3.4.
7.6.6. On appelle foncteur vectoriel (resp. en dimensionfinie) pour les isomorphismes la donnée pour tout espace de Banach V (resp. tout espace vectoriel
de dimension finie sur K) d'un espace de Banach r(V) et pour tout isomorphisme f de V sur un espace de Banach V' d'un isomorphisme T( f )
de z(V) sur 7(V'), ces données étant assujetties a la condition (a) de 7.6.1
et a la condition suivante:
(b') L'application f H z( f ) du sous-ensemble ouvert de 2 ( V ; V'l constitué par les isomorphismes de V sur V' , dans Y(7(V); t.(V1)), est de classe
C' .
Les définitions et résultats des nos précédents s'étendent au cas des foncteurs vectoriels pour les isomorphismes (en faisant 1, = ( 1 1 et 1- = a),
à 1 'exception de ceux du premier alinéa du no 7.6.3.
7.7. Sommes directes, fibrés d'applications multilinéaires, dual
7.7.1. On suppose que 1- = @. On définit un foncteur vectoriel o appelé
foncteur somme directe en posant o ( V ) = @ V i et cr(f) = Of;,. Si
i d
iel
A%! = (Mi)i,, est une famille de fibrés vectoriels de base B, le fibré vectoriel
a(-&) est appelé la somme directe des Mi et est noté @Mi. Pour tout
isl
b E B, la fibre en b de @ Mi est la somme directe des fibres des Mi en b.
isl
Soit U un ouvert de B et soit si E i"' ,i(U) (pour i E 1). L'application
b H x si(b) est alors une section, notée 1 si, de classe C' de M = @ Mi
i d
i
id
et l'application
H
si est un isomorphisme de W(U)-modules de
i
@ ipMi(U) sur YM(U)iel
La variété sous-jacente à @ Mi s'identifie au produit fibré n,Mi.
i d
On désigne par pr, le morphisme de fibrés vectoriels de @ Mi dans Mi
iË1
qui sur chaque fibre @ Mi est la i-ème projection. On définit de même
-
id
l'injection canonique ji de Mi dans
Mi.
i d
Soit f un morphisme de B dans une variété B'; soit H un second
VARIÉTÉS DIFFÉRENTIELLES ET ANALYTIQUES
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7.6.5. Les définitions et résultats des n 0 V 6 2 a 7.6.4 s'étendent au cas des
foncteurs vectoriels en dimension finie, a condition de supposer partout
les fibrés vectoriels donnés de rang fini.
Ils s'étendent également au cas suivant: soit L un corps muni d'une
structure de K-algèbre de dimension finie; on prend pour z un foncteur
vectoriel sur L (i.e. satisfaisant aux hypothèses de 7.6.1 où l'on a remplacé
K par L), et on ne considère que des fibrés vectoriels sur L au sens
de 7.3.4.
7.6.6. On appelle foncteur vectoriel (resp. en dimensionfinie) pour les isomorphismes la donnée pour tout espace de Banach V (resp. tout espace vectoriel
de dimension finie sur K) d'un espace de Banach r(V) et pour tout isomorphisme f de V sur un espace de Banach V' d'un isomorphisme T( f )
de z(V) sur 7(V'), ces données étant assujetties a la condition (a) de 7.6.1
et a la condition suivante:
(b') L'application f H z( f ) du sous-ensemble ouvert de 2 ( V ; V'l constitué par les isomorphismes de V sur V' , dans Y(7(V); t.(V1)), est de classe
C' .
Les définitions et résultats des nos précédents s'étendent au cas des foncteurs vectoriels pour les isomorphismes (en faisant 1, = ( 1 1 et 1- = a),
à 1 'exception de ceux du premier alinéa du no 7.6.3.
7.7. Sommes directes, fibrés d'applications multilinéaires, dual
7.7.1. On suppose que 1- = @. On définit un foncteur vectoriel o appelé
foncteur somme directe en posant o ( V ) = @ V i et cr(f) = Of;,. Si
i d
iel
A%! = (Mi)i,, est une famille de fibrés vectoriels de base B, le fibré vectoriel
a(-&) est appelé la somme directe des Mi et est noté @Mi. Pour tout
isl
b E B, la fibre en b de @ Mi est la somme directe des fibres des Mi en b.
isl
Soit U un ouvert de B et soit si E i"' ,i(U) (pour i E 1). L'application
b H x si(b) est alors une section, notée 1 si, de classe C' de M = @ Mi
i d
i
id
et l'application
H
si est un isomorphisme de W(U)-modules de
i
@ ipMi(U) sur YM(U)iel
La variété sous-jacente à @ Mi s'identifie au produit fibré n,Mi.
i d
On désigne par pr, le morphisme de fibrés vectoriels de @ Mi dans Mi
iË1
qui sur chaque fibre @ Mi est la i-ème projection. On définit de même
-
id
l'injection canonique ji de Mi dans
Mi.
i d
Soit f un morphisme de B dans une variété B'; soit H un second