no 7.6
FIBRES VECTORIELS
79
l'ensemble somme des T(. , &' , ) pour b E B; il existe sur T(J&' ) une structure de
,fibré twcioriel et une seule (de base B relativement à l'application n de
T(./&' )
dans B telle que pour tout b E B, on ait T(A,) = { h ) ) possédant la
propriété suivante :
Soit U un ouvert de B et, pour tout i, soit ti = (U, qir Fi) une carte
vectorielle de Mi, de domaine U ; posons 9 = (Fi),,, et soit iI/, l'élément
de Hom (&Yb, 9 ) défini par (t,bb)i = (ri)- ' pour i E 1 + et ($Ji = ti pour
i E 1 - ; pour x G 7 ~ - '(U), posons $(x) = (n(x), T($,,,)(x)). Alors le triplet
(U, iI/, ~ ( 9 ) )
est une carte vectorielle du fibré vectoriel 7(&).
Muni de cette structure, ~ ( d l ) s'appelle le jibré vectoriel déduit de la
famille A par lefoncteur vectoriel 7.
7.6.3. Soit f un morphisme de B dans une variété B'. Soit A = (Mi)
(resp. .,dl' = (M")) un famille indexée par 1 de fibrés vectoriels de base
B (resp. Br). Pour tout i~ I , , soit gi unf-morphisme de Mi dans M"
et pour tout ic 1-, soit gi un f-comorphisme de M" dans Mi. Posons
g = (g,),,, et pour b E B, posons g, = ((gi)& (cf. 7.2.1 et 7.2.6). 11 existe un
f-morphisme et un seul, noté ~(g), de ~ ( d )
dans 7(Af) tel que 7(g), = ~(g,)
pour tout b E B.
Si en particulier Mi = f *Mli, les g i étant les morphismes ou comorphismes canoniques, alors le B-morphisme de r(&) dans f *r(A") défini
par ~ ( g ) (7.2.4) est un isomorphisme: on exprime ce fait en disant que T
commute aux images réciproques.
En particulier soit B' une sous-variété de B et posons .AI B' = (M'IB')i,, .
Les fibrés vectoriels t(A)lB1 et r(dlB') sont alors canoniquement BI-isomorphes.
7.6.4. Soient 7, 7,, . . . ,7, des foncteurs vectoriels (de type 1 et de classe Cr).
Un morphisme d-linéaire 0 de (T,, . . . , T ~ )
dans T est la donnée pour
toute famille Y d'espaces de Banach indexée par 1 d'une application
d-linéaire continue 0, de ?,(.y-) x . - . x rd(Ye) dans z(.Y'), cette donnée
satisfaisant à la condition suivante : pour tout f E Hom(V', V - ' ) on a
Pour d = 1, on dit simplement un morphisme de 7, dans T.
Soit alors
une famille indexée par 1 de fibrés vectoriels de base B.
Il existe un B-morphisme d-linéaire 0, et un seul de 7 , ( d ) x , - . - x , zd(A)
dans 7(A) tel que (O, ), = O, ,
pour tout b E B.
Avec les notations de 7.6.3., on a
7(g) 0 0, = O, . 0 (T , (g) x - . . x zdg)).
Si d = 1, et si 8 est un isomorphisme (ce qui veut dire que 0, est un isomorphisme pour toute famille V'), alors 8, est un isomorphisme.
FIBRES VECTORIELS
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l'ensemble somme des T(. , &' , ) pour b E B; il existe sur T(J&' ) une structure de
,fibré twcioriel et une seule (de base B relativement à l'application n de
T(./&' )
dans B telle que pour tout b E B, on ait T(A,) = { h ) ) possédant la
propriété suivante :
Soit U un ouvert de B et, pour tout i, soit ti = (U, qir Fi) une carte
vectorielle de Mi, de domaine U ; posons 9 = (Fi),,, et soit iI/, l'élément
de Hom (&Yb, 9 ) défini par (t,bb)i = (ri)- ' pour i E 1 + et ($Ji = ti pour
i E 1 - ; pour x G 7 ~ - '(U), posons $(x) = (n(x), T($,,,)(x)). Alors le triplet
(U, iI/, ~ ( 9 ) )
est une carte vectorielle du fibré vectoriel 7(&).
Muni de cette structure, ~ ( d l ) s'appelle le jibré vectoriel déduit de la
famille A par lefoncteur vectoriel 7.
7.6.3. Soit f un morphisme de B dans une variété B'. Soit A = (Mi)
(resp. .,dl' = (M")) un famille indexée par 1 de fibrés vectoriels de base
B (resp. Br). Pour tout i~ I , , soit gi unf-morphisme de Mi dans M"
et pour tout ic 1-, soit gi un f-comorphisme de M" dans Mi. Posons
g = (g,),,, et pour b E B, posons g, = ((gi)& (cf. 7.2.1 et 7.2.6). 11 existe un
f-morphisme et un seul, noté ~(g), de ~ ( d )
dans 7(Af) tel que 7(g), = ~(g,)
pour tout b E B.
Si en particulier Mi = f *Mli, les g i étant les morphismes ou comorphismes canoniques, alors le B-morphisme de r(&) dans f *r(A") défini
par ~ ( g ) (7.2.4) est un isomorphisme: on exprime ce fait en disant que T
commute aux images réciproques.
En particulier soit B' une sous-variété de B et posons .AI B' = (M'IB')i,, .
Les fibrés vectoriels t(A)lB1 et r(dlB') sont alors canoniquement BI-isomorphes.
7.6.4. Soient 7, 7,, . . . ,7, des foncteurs vectoriels (de type 1 et de classe Cr).
Un morphisme d-linéaire 0 de (T,, . . . , T ~ )
dans T est la donnée pour
toute famille Y d'espaces de Banach indexée par 1 d'une application
d-linéaire continue 0, de ?,(.y-) x . - . x rd(Ye) dans z(.Y'), cette donnée
satisfaisant à la condition suivante : pour tout f E Hom(V', V - ' ) on a
Pour d = 1, on dit simplement un morphisme de 7, dans T.
Soit alors
une famille indexée par 1 de fibrés vectoriels de base B.
Il existe un B-morphisme d-linéaire 0, et un seul de 7 , ( d ) x , - . - x , zd(A)
dans 7(A) tel que (O, ), = O, ,
pour tout b E B.
Avec les notations de 7.6.3., on a
7(g) 0 0, = O, . 0 (T , (g) x - . . x zdg)).
Si d = 1, et si 8 est un isomorphisme (ce qui veut dire que 0, est un isomorphisme pour toute famille V'), alors 8, est un isomorphisme.