7.5.6. Soient M M' 5 M" deux morphismes de fibrés vectoriels. On dit
que la suite (Jg) est exacte localement directe si les deux morphismes f
et g sont localement directs et si Im f = Ker g. Si g 0 f = 0, l'ensemble
D des points b E B tels que la suite M, 2 ML 2 M," soit exacte directe
(c'est-à-dire tels que Ker f, et Im g, admettent des supplémentaires topof
logiques et que Im f, = Kerg,) est ouvert et la suite MID + M'ID 5 M"ID
est exacte localement directe.
On définir de même les suites exactes localement directes de longueur
quelconque. Par abus de langage, on dit parfois suite exacte directe au lieu
de suite exacte localement directe.
7.5.7. Soit O -P M 5 M' 5 M" + O une suite de morphismes de fibrés vectoriels. Pour que cette suite soit exacte localement directe, il faut et il suffit
que f soit un isomorphisme de M sur un sous-fibré vectoriel f (M) de M'
et que g définisse par passage au quotient un isomorphisme du fibré
vectoriel quotient Mr/f(M) sur M".
7.6. Foncteurs vectoriels
Dans ce no et dans les trois nos suivants 7.7 a 7.9, la lettre 1 désigne un ensemble
fini, réunion de deux sous-ensembles disjoints 1, et IL. On désigne par
Y = (V,),,, (et de manière analogue par Y", Y-", . . . ) une famille d'espaces
de Banach indexée par 1. On désigne par Hom (Y-, Y-') l'espace de Banach
n 9 ( V i ; V:) x n 9 ( V f ; V,) et par f = (fi) un élément de Hom (Y, VI).
iel+
i d -
On note I d V l'élément (Id,,)i,, de Hom (Y, Y). Pour f E Hom (Y; Y') et
f ' E Hom (Y', V"), on note f 'O f l'élément de Hom (V, Y") dont les composantes sont données par :
7.6.1. On appelle foncteur vectoriel (resp. foncteur vectoriel en.dimension
finie) de type 1 et de classe C' la donnée pour toute famille Y = (Vi)iGI
d'espaces de Banach (resp. d'espaces vectoriels de dimension finie sur K)
d'un espace de Banach r(V) et pour tout f E Hom (< V ' ) d'un élément
~ ( Q E
Y(z(Y); z ( Y 1 ) ) , ces données étant assujetties aux deux conditions
suivantes :
(a) On a ~(1d") = Id,,,, et r(f' 0 f) = z(f ') O 7(f).
(b) L'application 7 : Hom (Y; Y") + 9(z(P^); .r(YP')) est de classe C'.
7.6.2. Soit A = (Mi)ie, une famille de fibrés vectoriels de base B. Pour
b E B, posons 4, = (Mi),,,. Soit 7 un foncteur vectoriel et soit z(A)
que la suite (Jg) est exacte localement directe si les deux morphismes f
et g sont localement directs et si Im f = Ker g. Si g 0 f = 0, l'ensemble
D des points b E B tels que la suite M, 2 ML 2 M," soit exacte directe
(c'est-à-dire tels que Ker f, et Im g, admettent des supplémentaires topof
logiques et que Im f, = Kerg,) est ouvert et la suite MID + M'ID 5 M"ID
est exacte localement directe.
On définir de même les suites exactes localement directes de longueur
quelconque. Par abus de langage, on dit parfois suite exacte directe au lieu
de suite exacte localement directe.
7.5.7. Soit O -P M 5 M' 5 M" + O une suite de morphismes de fibrés vectoriels. Pour que cette suite soit exacte localement directe, il faut et il suffit
que f soit un isomorphisme de M sur un sous-fibré vectoriel f (M) de M'
et que g définisse par passage au quotient un isomorphisme du fibré
vectoriel quotient Mr/f(M) sur M".
7.6. Foncteurs vectoriels
Dans ce no et dans les trois nos suivants 7.7 a 7.9, la lettre 1 désigne un ensemble
fini, réunion de deux sous-ensembles disjoints 1, et IL. On désigne par
Y = (V,),,, (et de manière analogue par Y", Y-", . . . ) une famille d'espaces
de Banach indexée par 1. On désigne par Hom (Y-, Y-') l'espace de Banach
n 9 ( V i ; V:) x n 9 ( V f ; V,) et par f = (fi) un élément de Hom (Y, VI).
iel+
i d -
On note I d V l'élément (Id,,)i,, de Hom (Y, Y). Pour f E Hom (Y; Y') et
f ' E Hom (Y', V"), on note f 'O f l'élément de Hom (V, Y") dont les composantes sont données par :
7.6.1. On appelle foncteur vectoriel (resp. foncteur vectoriel en.dimension
finie) de type 1 et de classe C' la donnée pour toute famille Y = (Vi)iGI
d'espaces de Banach (resp. d'espaces vectoriels de dimension finie sur K)
d'un espace de Banach r(V) et pour tout f E Hom (< V ' ) d'un élément
~ ( Q E
Y(z(Y); z ( Y 1 ) ) , ces données étant assujetties aux deux conditions
suivantes :
(a) On a ~(1d") = Id,,,, et r(f' 0 f) = z(f ') O 7(f).
(b) L'application 7 : Hom (Y; Y") + 9(z(P^); .r(YP')) est de classe C'.
7.6.2. Soit A = (Mi)ie, une famille de fibrés vectoriels de base B. Pour
b E B, posons 4, = (Mi),,,. Soit 7 un foncteur vectoriel et soit z(A)