variété sous-jacente à la structure de fibré vectoriel de M' coïncide avec
celle induite par la structure de variété de M.
7.5.2. Soit M' un sous-fibré vectoriel de M. Notons Rlx, y{ la relation
suivante entre points x, y de M :
« il existe un élément b de R tel que x E Mb, y E Mb et x - y E ML ».
Alors R est une relation d'équivalence régulière sur M (cf. no 5.9.7). Sur
l'ensemble MIR, il existe une structure de fibré vectoriel et une seule telle
que l'application canonique de M sur MIR soit un morphisme. On note
M/M' et l'on appelle quotient de M par M' le fibré vectoriel ainsi défini;
pour chaque point b de B, le fibré (M/M'), est l'espace vectoriel topologique quotient Mb/M; et la structure de variété sur M/M' est quotient de
celle de M.
7.5.3. Conservons les hypothèses de 7.5.2. Pour tout point b, de B, on
peut trouver un voisinage ouvert U de b,, un espace de Banach F, somme
directe de deux sous-espaces fermés F' et F , et un isomorphisme de fibrés
vectoriels L de Fu sur MIU avec les propriétés suivantes:
(i) La restriction L' de L à U x F' est un isomorphisme de F; sur
M'lu.
(ii) Si p est l'application canonique de M sur M" = M/M', et si L"
est la restriction de L à U x F", l'application p O L" est un isomorphisme
de F
U sur M''lu.
7.5.4. Si un morphisme de fibrés vectoriels g : L + M a son image contenue dans Mt, c'est un morphisme de fibrés vectoriels de L dans M'.
Considérons maintenant un morphisme de fibrés vectoriels h : M -+ N
et supposons que, pour tout b dans B, la restriction de hb à Mg soit
nulle. Si p est le morphisme canonique de M sur M/M1, il existe un
morphisme h de MJM' dans N et un seul tel que h = h 0 p.
7.5.5. Soient P et Q deux fibrés vectoriels, et g un morphisme de P
dans Q ; pour tout point b de B, notons Nb et 1, respectivement le noyau et
l'image de I'application linéaire g, : Pb -. Q,. Posons N = U N b et
b€B
1 = U I b . On dit que le morphisme g est localement direct si N est un
GB
sous-fibré vectoriel de P et 1 un sous-fibré vectoriel de Q. Le morphisme
g définit alors par passage au quotient un isomorphisme de P/N sur 1.
On dit que N est le noyau de g et on le note Ker g. De même, le sous-fibré
1 est appelé l'image de g et est noté Im g.
Si r 2 oo, le morphisme g est localement direct si et seulement si
g est une subimmersion. Si P est de rangfini, le morphisme g est localement direct si et seulement si le rang vectoriel de g est localement constant
ou encore si et seulement si g est une subimmersion.
celle induite par la structure de variété de M.
7.5.2. Soit M' un sous-fibré vectoriel de M. Notons Rlx, y{ la relation
suivante entre points x, y de M :
« il existe un élément b de R tel que x E Mb, y E Mb et x - y E ML ».
Alors R est une relation d'équivalence régulière sur M (cf. no 5.9.7). Sur
l'ensemble MIR, il existe une structure de fibré vectoriel et une seule telle
que l'application canonique de M sur MIR soit un morphisme. On note
M/M' et l'on appelle quotient de M par M' le fibré vectoriel ainsi défini;
pour chaque point b de B, le fibré (M/M'), est l'espace vectoriel topologique quotient Mb/M; et la structure de variété sur M/M' est quotient de
celle de M.
7.5.3. Conservons les hypothèses de 7.5.2. Pour tout point b, de B, on
peut trouver un voisinage ouvert U de b,, un espace de Banach F, somme
directe de deux sous-espaces fermés F' et F , et un isomorphisme de fibrés
vectoriels L de Fu sur MIU avec les propriétés suivantes:
(i) La restriction L' de L à U x F' est un isomorphisme de F; sur
M'lu.
(ii) Si p est l'application canonique de M sur M" = M/M', et si L"
est la restriction de L à U x F", l'application p O L" est un isomorphisme
de F
U sur M''lu.
7.5.4. Si un morphisme de fibrés vectoriels g : L + M a son image contenue dans Mt, c'est un morphisme de fibrés vectoriels de L dans M'.
Considérons maintenant un morphisme de fibrés vectoriels h : M -+ N
et supposons que, pour tout b dans B, la restriction de hb à Mg soit
nulle. Si p est le morphisme canonique de M sur M/M1, il existe un
morphisme h de MJM' dans N et un seul tel que h = h 0 p.
7.5.5. Soient P et Q deux fibrés vectoriels, et g un morphisme de P
dans Q ; pour tout point b de B, notons Nb et 1, respectivement le noyau et
l'image de I'application linéaire g, : Pb -. Q,. Posons N = U N b et
b€B
1 = U I b . On dit que le morphisme g est localement direct si N est un
GB
sous-fibré vectoriel de P et 1 un sous-fibré vectoriel de Q. Le morphisme
g définit alors par passage au quotient un isomorphisme de P/N sur 1.
On dit que N est le noyau de g et on le note Ker g. De même, le sous-fibré
1 est appelé l'image de g et est noté Im g.
Si r 2 oo, le morphisme g est localement direct si et seulement si
g est une subimmersion. Si P est de rangfini, le morphisme g est localement direct si et seulement si le rang vectoriel de g est localement constant
ou encore si et seulement si g est une subimmersion.