linéaire, telles que pour V c U l'on ait:
PU(^^>..-^ sd)lv = (pV(slIv,.-.,sd~v)~
Il existe alors un morphisme multilinéaire u de M l x, . . . x B Md dans
N et un seul tel que cpu(sl,. . . , sd) = u(sl,. . . , s,) quelles que soient les
sections sj de M sur l'ouvert U de B.
7.4.7. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M (resp. M')
un fibré vectoriel de base B (resp. B') et de rang fini. Supposons donnée
pour tout ouvert U de B une application pu de YM(U) dans
YMt( f - '(U)), V(U)-semi-linéaire, telles que
(Pu(s)l f - '(V) = cpv!slV)
pour tout ouvert V c U. 11 existe alors un f-comorphisme g et un seul
de M dans M' tel que cp,(s) = Y(g)(s) pour tout s€YM(U).
"7.4.8. Soit 9 un faisceau de modules sur le faisceau d'anneaux Ing.
On dit que 9 est localement libre si pour tout b E B, il existe un voisinage
ouvert U de b et un entier n tels que F I U soit isomorphe (comme
faisceau de %' ;-modules)
au faisceau (Vu)".
Si M est un fibré vectoriel de base B de rang fini, le faisceau F M est
localement libre. Réciproquement, pour tout faisceau localement libre
9 sur B, il existe un fibré vectoriel M et un isomorphisme de faisceaux
de F M sur 2 Si Mt est un autre fibré vectoriel de base B de rang fini,
l'application g H Y ( g ) est une bijection de I'ensemble des B-morphismes
de M dans M' sur l'ensemble des morphismes de faisceaux de '3'-modules
de YM dans FM..,
7.5. Sous-fibrés vectoriels, @rés vectoriels quotients, suites exactes
Dans ce numéro, on appelle fibré vectoriel un fibré vectoriel de base B et
morphisme de fibré vectoriels un IdB-morphisme.
7.5.1. Soit M un fibré vectoriel. Un sous-ensemble M' de M est appelé
un sous-$bré vectoriel de M si, pour tout point b E B, il existe une carte
vectorielle t = (U, cp, E) de M en b et un sous-espace vectoriel fermé F
de E admettant un supplémentaire topologique, tels que
cp(n- YU) n M') = U x F.
Dans ces conditions, il existe sur M' une structure de fibré vectoriel et une
seule pour laquelle l'injection canonique de M' dans M est un morphisme.
Pour chaque b é B, la fibre ML de M' est le sous-espace vectoriel fermé
M' n M, de M,; M' est une sous-variété fermée de M et la structure de
PU(^^>..-^ sd)lv = (pV(slIv,.-.,sd~v)~
Il existe alors un morphisme multilinéaire u de M l x, . . . x B Md dans
N et un seul tel que cpu(sl,. . . , sd) = u(sl,. . . , s,) quelles que soient les
sections sj de M sur l'ouvert U de B.
7.4.7. Soit f un morphisme d'une variété B' dans B et soit M (resp. M')
un fibré vectoriel de base B (resp. B') et de rang fini. Supposons donnée
pour tout ouvert U de B une application pu de YM(U) dans
YMt( f - '(U)), V(U)-semi-linéaire, telles que
(Pu(s)l f - '(V) = cpv!slV)
pour tout ouvert V c U. 11 existe alors un f-comorphisme g et un seul
de M dans M' tel que cp,(s) = Y(g)(s) pour tout s€YM(U).
"7.4.8. Soit 9 un faisceau de modules sur le faisceau d'anneaux Ing.
On dit que 9 est localement libre si pour tout b E B, il existe un voisinage
ouvert U de b et un entier n tels que F I U soit isomorphe (comme
faisceau de %' ;-modules)
au faisceau (Vu)".
Si M est un fibré vectoriel de base B de rang fini, le faisceau F M est
localement libre. Réciproquement, pour tout faisceau localement libre
9 sur B, il existe un fibré vectoriel M et un isomorphisme de faisceaux
de F M sur 2 Si Mt est un autre fibré vectoriel de base B de rang fini,
l'application g H Y ( g ) est une bijection de I'ensemble des B-morphismes
de M dans M' sur l'ensemble des morphismes de faisceaux de '3'-modules
de YM dans FM..,
7.5. Sous-fibrés vectoriels, @rés vectoriels quotients, suites exactes
Dans ce numéro, on appelle fibré vectoriel un fibré vectoriel de base B et
morphisme de fibré vectoriels un IdB-morphisme.
7.5.1. Soit M un fibré vectoriel. Un sous-ensemble M' de M est appelé
un sous-$bré vectoriel de M si, pour tout point b E B, il existe une carte
vectorielle t = (U, cp, E) de M en b et un sous-espace vectoriel fermé F
de E admettant un supplémentaire topologique, tels que
cp(n- YU) n M') = U x F.
Dans ces conditions, il existe sur M' une structure de fibré vectoriel et une
seule pour laquelle l'injection canonique de M' dans M est un morphisme.
Pour chaque b é B, la fibre ML de M' est le sous-espace vectoriel fermé
M' n M, de M,; M' est une sous-variété fermée de M et la structure de